lineare Unabhängigkeit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:03 Mi 27.11.2013 | | Autor: | matthias1234 |
| Aufgabe | Sei V ein n-dim-VR. f: N -> R, f: Abbildung, [mm] f_k [/mm] = element V, mit [mm] f_k [/mm] (n)= Kronecker delta n,k.
für alle n,k, element natürlicher Zahlen. Prüfen Sie, ob die Menge M=( [mm] f_k, [/mm] k =Element natürlicher Zahlen) linear unabhängig ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hi, ich soll obige Aufgabe bearbeiten. Meine Idee ist: betrachte endlich viele Teilmengen [mm] f_i [/mm] von M. Dann will ich mit ihnen eine Linearkombination erstellen also /lambda_i1 f_i1 + .... + /lambda_ im f_im Und das dann 0 setzen, dafür nur triviale lösungen für [mm] /lambda_i [/mm] möglich sind, müsste mans doch irgendwie hinkriegen können oder? Aber mein Problem ist, dass ich das nicht auf Papier bekomme. Ich weiß nicht wie ich formal aufschreiben soll.
danke schonmal für eure Hilfe!!!
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> Sei V ein n-dim-VR. f: N -> R, f: Abbildung, [mm]f_k[/mm] = element
> V, mit [mm]f_k[/mm] (n)= Kronecker delta n,k.
> für alle n,k, element natürlicher Zahlen. Prüfen Sie, ob
> die Menge M=( [mm]f_k,[/mm] k =Element natürlicher Zahlen) linear
> unabhängig ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich fürchte, Du hast die Aufgabenstellung nicht richtig wiedergegeben, sondern ziemlich verstümmelt.
Ich könnte ihn wahrscheinlich dank meiner Hellsichtigkeit herausfinden, aber bevor ich mich doch täusche:
schreib mal den Originaltext ab, inkl. einleitender Worte und vorangehender Teilaufgaben.
Keine eigenen Interpretationen und Ergebnisse einarbeiten bitte.
LG Angela
> hi, ich soll obige Aufgabe bearbeiten. Meine Idee ist:
> betrachte endlich viele Teilmengen [mm]f_i[/mm] von M. Dann will ich
> mit ihnen eine Linearkombination erstellen also /lambda_i1
> f_i1 + .... + /lambda_ im f_im Und das dann 0 setzen,
> dafür nur triviale lösungen für [mm]/lambda_i[/mm] möglich sind,
> müsste mans doch irgendwie hinkriegen können oder? Aber
> mein Problem ist, dass ich das nicht auf Papier bekomme.
> Ich weiß nicht wie ich formal aufschreiben soll.
>
> danke schonmal für eure Hilfe!!!
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| Aufgabe | | aufgabenstellung von oben |
hi angela,
es tut mir leid aber genauso stand die Aufgabe auf dem Zettel. Ich hab sie nur abgeschrieben...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> es tut mir leid aber genauso stand die Aufgabe auf dem
> Zettel. Ich hab sie nur abgeschrieben...
so:
> Sei V ein n-dim-VR. f: N -> R, f: Abbildung, $ [mm] f_k [/mm] $ = element V, mit
> $ [mm] f_k [/mm] $ (n)= Kronecker delta n,k.
> für alle n,k, element natürlicher Zahlen. Prüfen Sie, ob die Menge M=( $ [mm] f_k, [/mm]
> $ k =Element natürlicher Zahlen) linear unabhängig ist.
???
Mit Sicherheit nicht. [mm] $V\,$ [/mm] ist ein n-dim. Vektorraum - okay. [mm] $f\,$ [/mm] ist eine Abbildung.
Meinetwegen. Was ist N? Was ist R? Ist $f [mm] \colon \IN \to \IR$ [/mm] gemeint? Dann macht
es durchaus Sinn, sich die Funktionen [mm] $f_k \colon \IN \to \IR$ [/mm] mit
[mm] $f_k(n)=\delta_{k,n}$
[/mm]
anzugucken, wobei $k,n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Was soll [mm] $f_k=\in [/mm] V$ bedeuten?
Ich mache es mal so, und Du sagst erstmal, ob das die Aufgabenstellung
ist:
Es sei
[mm] $V:=\{f:\;\;\text{ es ist }f\text{ eine Abbildung } f \colon \IN \to \IR\}\,.$
[/mm]
Was dabei das "n-dim" bedeuten soll, weiß ich nicht. Das macht keinen Sinn,
zumal Du später eh auch nochmal [mm] $n\,$ [/mm] als laufende Variable benutzt.
Nun definiert man für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] die [mm] $f_k$ [/mm] durch
[mm] $f_k \colon \IN \to \IR$
[/mm]
mit
[mm] $f_k(n):=\delta_{k,n}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Die Frage ist dann:
Ist
[mm] $M:=\{f_k:\;\; k \in \IN\}$
[/mm]
linear unabhängig?
(Beachte übrigens, dass hier sowas wie $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x [mm] \in \IN$ [/mm] und
[mm] $(r*f)(x):=r*f(x)\,$ [/mm] für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] und alle $x [mm] \in \IN$ [/mm] benutzt werden soll).
Das ist der Fall: Nimm' dazu [mm] $p\,$ [/mm] (paarweise verschiedene) Elemente aus [mm] $M\,$
[/mm]
her.
Die kannst Du schreiben als
[mm] $f_{z_1},...,f_{z_p}\,,$
[/mm]
mit eindeutig bestimmten (paarweise verschiedenen) Zahlen [mm] $z_1,...,z_p\,.$
[/mm]
Die $0 [mm] \in [/mm] V$ ist die Nullfunktion [mm] $\IN \ni [/mm] n [mm] \mapsto [/mm] 0 [mm] \in \IR\,,$ [/mm] ich schreibe für sie
kurz [mm] $\textbf{0}\,.$
[/mm]
Die Frage ist nun: Gilt für [mm] $\lambda_1,...,\lambda_p \in \IR$ [/mm] stets, dass
[mm] ($\*$) $\sum_{k=1}^p \lambda_k f_{z_k}=\textbf{0}$
[/mm]
schon
[mm] $\lambda_1=...=\lambda_p=0$
[/mm]
impliziert?
Ja, das wird der Fall sein. Tipp: Um [mm] $\lambda_{m}=0$ [/mm] einzusehen, betrachte
[mm] $(\sum_{k=1}^p \lambda_k f_{z_k})(z_m)\,.$
[/mm]
Gemäß [mm] ($\*$) [/mm] soll ja insbesondere
[mm] $(\sum_{k=1}^p \lambda_k f_{z_k})(z_m)=\textbf{0}(z_m)=0$
[/mm]
gelten. (Beachte, dass [mm] $z_m \in \IN$ [/mm] ist!)
P.S. Zu den Formeln:
www.matheraum.de/mm
Gruß,
Marcel
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