lineare Differnetialgleichunge < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \vektor{y'_{1}\\y'_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{-y_{2}\\y_{1}+x} [/mm] = [mm] \pmat{0&-1\\1&0} \vektor{y_{1}\\y_{2}}+\vektor{0\\x}
[/mm]
homogenes System:
[mm] y'_{1}=-y_{2}
[/mm]
[mm] y'_{2}=y_{1}
[/mm]
[mm] $y_{1}=\cos [/mm] x$, [mm] $y'_{1}=-\sin [/mm] x$, [mm] $y_{2}=\sin [/mm] x$, [mm] $y'_{2}=\cos [/mm] x$
[mm] \Rightarrow \vektor{\cos x\\ \sin x} [/mm] ist eine Lösung, ebenso [mm] \vektor{\sin x\\-\cos x} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich komm mit den linearen Differentialgleichungen irgendwie überhaupt nicht zurecht.wir haben in der vorlesung das obige beispiel bekommen,allerdings verstehe ich nicht,wie der prof auf die lösung mi sin und cos gekommen ist.wahrscheinlich ist das garnicht so schwer,aber vielleicht könnte mir ja einer von euch helfen.das wär echt super.danke schonmal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mi 13.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Oje, das sollte der Professor aber schon erklären. Vermutlich habt ihr schon ein paar solcher Aufgaben betrachtet, deshalb hat er sich hier kurzgefasst.
Maßgeblich für die Lösung sind die Eigenwerte [mm]i[/mm] und [mm]-i[/mm] der Koeffizientenmatrix [mm] $\pmat{0&-1\\1&0}$, [/mm] also die komplexen Lösungen der Eigenwertgleichung [mm]\lambda^2+1=0[/mm].
Als Lösung [mm] $y_1$ [/mm] des homogenen Systems kommen dann nur Linearkombinationen von [mm]e^{ix}[/mm] und [mm]e^{-ix}[/mm] in Frage, bzw. mit [mm]e^{\pm ix} = \cos(x)\pm i\cdot \sin(x)[/mm] ins Reelle übertragen: Linearkombinationen von [mm]\cos(x)[/mm] und [mm]\sin(x)[/mm].
In [mm]y_2=-y_1'[/mm] eingesetzt hast du dann auch das zugehörige [mm]y_2[/mm].
Das in aller Kürze zur Erinnerung - weil ich einfach nicht glaube, dass ihr das noch nie gehört habt!
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