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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Mo 16.06.2014 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Begründen Sie Ihre Antwort.
f: [mm] \IR^{n} \mapsto \IR [/mm] , [mm] (x_{1},...,x_{n}) \mapsto x_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{n}
[/mm]
g: [mm] \IR^{2} \mapsto \IR [/mm] , [mm] (x_{1},x_{2}) \mapsto x_{1} [/mm] * [mm] x_{n}
[/mm]
h: [mm] \IR^{2} \mapsto \IR^{3} [/mm] , [mm] (x_{1},x_{2}) \mapsto (x_{1}+1,2*x_{2},x_{1}+x_{2})
[/mm]
l: [mm] \IR^{4} \mapsto \IR^{3} [/mm] , [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \mapsto (x_{1}+2*x_{4},2*x_{2}+x_{3},x_{1}+x_{3})
[/mm]
Bestimmen Sie gegebenenfalls die Dimension von Bild und Kern und geben Sie Basen zu diesen
Unterräumen an. |
Hallo, ich habe Probleme mit der Aufgabe
die Kriterien sind:
(i) f(x+y) = f(x) + f(y)
(ii) [mm] \alpha [/mm] f(x) = [mm] f(\alpha*x)
[/mm]
für f
i
[mm] f(x_{1},x_{2},...,x_{n}) [/mm] + [mm] f(y_{1},y_{2},...,y_{n})=
[/mm]
[mm] f(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}+...+x_{n}+y_{n}=
[/mm]
[mm] (x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})+...+(x_{n}+y_{n})=
[/mm]
[mm] x_{1}+x_{2}+...+x_{n}+y_{1}+y_{2}+...+y_{n}=
[/mm]
[mm] f(x_{1},x_{2},...,x_{n}) [/mm] + [mm] f(y_{1},y_{2},...,y_{n})
[/mm]
ii
[mm] f(\alpha*(x_{1},...,x_{n}) [/mm] =
[mm] \alpha f(x_{1},...,x_{n}) [/mm] =
[mm] \alpha*x_{1} [/mm] + [mm] \alpha*x_{2} [/mm] + ... + [mm] \alpha*x_{n} [/mm] =
[mm] \alpha*(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}) [/mm] =
[mm] f(\alpha*(x_{1},...,x_{n})
[/mm]
-> linear
bei g verstehe ich nicht was mit [mm] x_{n} [/mm] gemeint ist
für h
i
[mm] h(x_{1},x_{2}) [/mm] + [mm] f(y_{1},y_{2}) [/mm] =
[mm] h(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}) [/mm] =
[mm] ((x_{1}+y_{1})+1,2*x_{2}+y_{2},x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}) [/mm] =
[mm] (x_{1}+1,2*x_{2},x_{1}+x_{2})+(y_{1})+1,2*y_{2},y_{1}+y_{2}) [/mm] =
[mm] h(x_{1},x_{2}) [/mm] + [mm] f(y_{1},y_{2}) [/mm]
ii
[mm] \alpha h(x_{1},x_{2}) [/mm] =
[mm] h(\alpha*x_{1},\alpha*x_{2}) [/mm] =
[mm] ((\alpha(x_{1})+1,2*(\alpha x_{2}),\alpha x_{1} [/mm] + [mm] \alpha x_{2}) [/mm] =
[mm] \alpha h(x_{1}+1,2*x_{2},x_{1}+x_{2})
[/mm]
-> nicht linear
für l
i
[mm] l(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) [/mm] + [mm] l(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}) [/mm] =
[mm] l(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3},x_{4}+y_{4}) [/mm] =
[mm] (x_{1}+y_{1})+2*(x_{4}+y_{4}),2*(x_{2}+y_{2})+(x_{3}+y_{3}),(x_{1}+y_{1})+(x_{3}+y_{3})) [/mm] =
[mm] (x_{1}+2*x_{4},2*x_{2}+x_{3},x_{1}+x_{3}) [/mm] + [mm] (y_{1}+2*y_{4},2*y_{2}+y_{3},y_{1}+y_{3}) [/mm] =
[mm] l(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) [/mm] + [mm] l(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})
[/mm]
ii
[mm] f(\alpha*(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})) [/mm] =
[mm] \alpha f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) [/mm] =
[mm] (\alpha*x_{1}+2*\alpha*x_{4},2*\alpha*x_{2}+\alpha*x_{3},\alpha*x_{1}+\alpha*x_{3}) [/mm] =
[mm] (\alpha*(x_{1}+2*x_{4}),\alpha*(2*x_{2}+x_{3}),\alpha*(x_{1}+x_{3})) [/mm] =
[mm] \alpha* (x_{1}+2*x_{4},2*x_{2}+x_{3},x_{1}+x_{3}) [/mm] =
[mm] \alpha f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) [/mm]
-> linear
Konnte mir jemand die Aufgaben Korrigieren und an Hand eines Beispiels die Dimension von Bild und Kern zeigen? Wäre sehr dankbar, danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:11 Di 17.06.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Begründen
> Sie Ihre Antwort.
>
> f: [mm]\IR^{n} \mapsto \IR[/mm] , [mm](x_{1},...,x_{n}) \mapsto x_{1}[/mm] +
> ... + [mm]x_{n}[/mm]
> g: [mm]\IR^{2} \mapsto \IR[/mm] , [mm](x_{1},x_{2}) \mapsto x_{1}[/mm] *
> [mm]x_{n}[/mm]
> h: [mm]\IR^{2} \mapsto \IR^{3}[/mm] , [mm](x_{1},x_{2}) \mapsto (x_{1}+1,2*x_{2},x_{1}+x_{2})[/mm]
>
> l: [mm]\IR^{4} \mapsto \IR^{3}[/mm] , [mm](x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \mapsto (x_{1}+2*x_{4},2*x_{2}+x_{3},x_{1}+x_{3})[/mm]
>
> Bestimmen Sie gegebenenfalls die Dimension von Bild und
> Kern und geben Sie Basen zu diesen
> Unterräumen an.
> Hallo, ich habe Probleme mit der Aufgabe
>
> die Kriterien sind:
>
> (i) f(x+y) = f(x) + f(y)
> (ii) [mm]\alpha[/mm] f(x) = [mm]f(\alpha*x)[/mm]
>
> für f
Auch wenn du für f zu dem richtigen Ergebnis kommst,
ist deine Darstellung noch zu verbessern.
> i
> [mm]f(x_{1},x_{2},...,x_{n})[/mm] + [mm]f(y_{1},y_{2},...,y_{n})=[/mm]
> [mm]f(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}+...+x_{n}+y_{n}=[/mm]
z.z.: [mm]f(x_{1},x_{2},...,x_{n})[/mm] + [mm]f(y_{1},y_{2},...,y_{n})=[/mm]
[mm]f(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}+...+x_{n}+y_{n})[/mm]
[mm]f(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}+...+x_{n}+y_{n})=[/mm]
> [mm](x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})+...+(x_{n}+y_{n})=[/mm]
> [mm]x_{1}+x_{2}+...+x_{n}+y_{1}+y_{2}+...+y_{n}=[/mm]
> [mm]f(x_{1},x_{2},...,x_{n})[/mm] + [mm]f(y_{1},y_{2},...,y_{n})[/mm]
>
> ii
> [mm]f(\alpha*(x_{1},...,x_{n})[/mm] =
> [mm]\alpha f(x_{1},...,x_{n})[/mm] =
z.z.: [mm]f(\alpha*(x_{1},...,x_{n}))[/mm] = [mm]\alpha f(x_{1},...,x_{n})[/mm]
[mm]f(\alpha*(x_{1},...,x_{n}))[/mm] =
> [mm]\alpha*x_{1}[/mm] + [mm]\alpha*x_{2}[/mm] + ... + [mm]\alpha*x_{n}[/mm] =
> [mm]\alpha*(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})[/mm] =
[mm]\alpha f(x_{1},...,x_{n})[/mm]
Vielleicht solltest du dir auch bei jedem Schritt überlegen, warum das
erlaubt ist, und Vektoren aus welchem Vektorraum bearbeitet werden.
> [mm]f(\alpha*(x_{1},...,x_{n})[/mm]
>
> -> linear
>
> bei g verstehe ich nicht was mit [mm]x_{n}[/mm] gemeint ist
Ich auch nicht, vielleicht ein Tippfehler in der Aufgabenstellung.
[mm] $x_2$??
[/mm]
>
> für h
> i
> [mm]h(x_{1},x_{2})[/mm] + [mm]f(y_{1},y_{2})[/mm] =
Weglassen, weil diese Gleichheit willst du erst zeigen.
> [mm]h(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2})[/mm] =
> [mm]((x_{1}+y_{1})+1,2*x_{2}+y_{2},x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2})[/mm] =
>
> [mm](x_{1}+1,2*x_{2},x_{1}+x_{2})+(y_{1})+1,2*y_{2},y_{1}+y_{2})[/mm]
Wo kommt die 1 bei [mm] $(y_1+1, 2*y_2, y_1+y2)$ [/mm] her?
[mm] $\not=$
[/mm]
> =
> [mm]h(x_{1},x_{2})[/mm] + [mm]f(y_{1},y_{2})[/mm]
>
> ii
> [mm]\alpha h(x_{1},x_{2})[/mm] =
> [mm]h(\alpha*x_{1},\alpha*x_{2})[/mm] =
> [mm]((\alpha(x_{1})+1,2*(\alpha x_{2}),\alpha x_{1}[/mm] + [mm]\alpha x_{2})[/mm]
> =
> [mm]\alpha h(x_{1}+1,2*x_{2},x_{1}+x_{2})[/mm]
Wie kommst du da dann auf nicht linear?
Nicht linear ist zwar richtig, aber es geht nicht aus deinem Beweis hervor.
[mm]h((\alpha*x_{1},\alpha*x_{2})^T)[/mm] =
[mm](\alpha x_{1}+1,2*\alpha x_{2},\alpha x_{1}+\alpha x_{2})^T[/mm]
[mm]\alpha*h((x_{1},x_{2})^T)[/mm] =
[mm] $\alpha*(x_1+1, 2*x_2, x_1+x_2)^T$ [/mm] =
[mm] $(\alpha x_1 [/mm] + [mm] \alpha, 2*\alpha*x_2, \alpha*x_1+\alpha*x_2)^T$
[/mm]
[mm] $\underbrace{\Rightarrow}_{\mbox{für } \alpha \not= 1} h(\alpha*(x_1,x_2)^T) \not= \alpha*h((x_1,x_2)^T)$
[/mm]
>
> -> nicht linear
>
> für l
> i
> [mm]l(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})[/mm] + [mm]l(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})[/mm] =
> [mm]l(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3},x_{4}+y_{4})[/mm] =
>
> [mm](x_{1}+y_{1})+2*(x_{4}+y_{4}),2*(x_{2}+y_{2})+(x_{3}+y_{3}),(x_{1}+y_{1})+(x_{3}+y_{3}))[/mm]
> =
> [mm](x_{1}+2*x_{4},2*x_{2}+x_{3},x_{1}+x_{3})[/mm] +
> [mm](y_{1}+2*y_{4},2*y_{2}+y_{3},y_{1}+y_{3})[/mm] =
> [mm]l(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})[/mm] + [mm]l(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})[/mm]
>
> ii
> [mm]f(\alpha*(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}))[/mm] =
> [mm]\alpha f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})[/mm] =
>
> [mm](\alpha*x_{1}+2*\alpha*x_{4},2*\alpha*x_{2}+\alpha*x_{3},\alpha*x_{1}+\alpha*x_{3})[/mm]
> =
> [mm](\alpha*(x_{1}+2*x_{4}),\alpha*(2*x_{2}+x_{3}),\alpha*(x_{1}+x_{3}))[/mm]
> =
> [mm]\alpha* (x_{1}+2*x_{4},2*x_{2}+x_{3},x_{1}+x_{3})[/mm] =
> [mm]\alpha f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})[/mm]
>
> -> linear
Linear ist ok, aber die Darstellung solltest du überarbeiten,
sodass klar ist was Vorraussetzung ist, und was Folgerung.
>
> Konnte mir jemand die Aufgaben Korrigieren und an Hand
> eines Beispiels die Dimension von Bild und Kern zeigen?
> Wäre sehr dankbar, danke im Voraus.
Für den Kern musst du die(das) lineare Gleichung(ssystem) [mm] $f(\vec [/mm] x) = [mm] \vec [/mm] 0$
lösen.
Als Lösung erhälst du den Kern, ein Untervektorraum der Definitionsmenge.
Mit dem ![[]](/images/popup.gif) Rangsatz auch die Dimension des Bildes.
>
Gruß
meili
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