lineare Abbildung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Bezeichne V den reellen Vektorraum [mm] \IR[X] [/mm] und M [mm] \subset \IR [/mm] eine Menge aus d Elementen.
Seien
[mm] U_{1}:=\{ f \in \IR[X] | \forall m \in M : f(m)=0 \}
[/mm]
[mm] U_{2}:=\{ f \in \IR[X] | Grad(f) \le d-1 \}
[/mm]
zwei Untervektorräume von V und weiter [mm] \phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] Abb(M, [mm] \IR), [/mm] die durch [mm] \phi [/mm] (f)(m):=f(m) gegebene lineare Abbildung.
a) Zeigen Sie, dass [mm] \phi |_{U_{2}} [/mm] : [mm] U_{2} \to [/mm] Abb(M, [mm] \IR) [/mm] ein Isomorphismus ist.
b) Folgern Sie mit dem Homomorphisatz, dass auch [mm] V/U_{1}\cong [/mm] Abb(M, [mm] \IR)
[/mm]
c) Folgern Sie, dass [mm] U_{2} [/mm] Komplement von [mm] U_{1} [/mm] ist.
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Hallo alle zusammen,
ich komme bei dieser aufgabe nicht so recht weiter. Schon die a) bereitet mir einige probleme. Wie zeige ich, dass [mm] \phi [/mm] bijektiv ist?
Und wie zeige ich bei der b, dass [mm] U_{1} [/mm] Kern von [mm] \phi [/mm] ist?
Würde mich auch über Ansätze für die c) freuen!
Danke schonmal im Vorraus
Gruß
Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Docy |
Hallo Leute,
ist die obige Aufgabe zu schwer?
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mi 31.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\phi |_{U_{2}}[/mm] : [mm]U_{2} \to[/mm] Abb(M, [mm]\IR)[/mm]
> ein Isomorphismus ist.
Surjektiv: bastele Polynome, die das erfüllen. Die brauch man zB auch in Numerik, dazu finde Polynome die auf einem Element in M gleich 1 sind, sonst 0.
Injektiv: Da gibt's Sätze über Nullstellen von Polynomen und eindeutigkeit in Abh. vom Grad.
> b) Folgern Sie mit dem Homomorphisatz, dass auch
> [mm]V/U_{1}\cong[/mm] Abb(M, [mm]\IR)[/mm]
Na, dazu einfach zeigen, was denn der Kern der Abbildung ist, ist ja mehr oder minder offenischtlich.
> c) Folgern Sie, dass [mm]U_{2}[/mm] Komplement von [mm]U_{1}[/mm] ist.
Hmm, das ist doch fast offensichtlich. Ein bißchen endl. Dimensionalität hat man ja. Da der Schnitt der beiden nur der Nullvektor ist, liegt [mm]U_{2}[/mm] in einem Komplement, aus Diemnsionsgründen muss das jetzt der ganze Raum sein.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Docy |
Hallo SEcki,
tut mir leid, aber ich verstehe deine antwort nicht. Kannst du, oder jemand anderes es vielleicht etwas genauer erklären?
Gruß
Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Fr 02.02.2007 | | Autor: | Docy |
Hallo,
also ich bin jetzt ein Stück weiter gekommen. Bei der a) habe ich die Injektivität dadurch gezeigt, dass Ker(f)={0} ist, und die b) habe ich auch bereits.
Mir fehlt leider noch der Beweis der Surjektivität, bei dem ich leider immer noch ziemlich ratlos bin. Vielleicht kann mir da ja noch jemand weiterhelfen. Und bei der c) habe ich leider auch nichts.
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Fr 02.02.2007 | | Autor: | SEcki |
> tut mir leid, aber ich verstehe deine antwort nicht.
Konkrter NAchfragen wären nett!
> Kannst du, oder jemand anderes es vielleicht etwas genauer
> erklären?
Es ist schon ziemlich genau eigentlich, aber nach deiner Mitteilung:
zur a): Surj.: Wie sieht denn ein Polynom aus, das an d-1 Stellen [m]x_1,...,x_{d-1}[/m] Null sein soll? Wie würdest du so eins hinschreiben? Was passiert dann an einer willkürlichen d-ten stelle?
zur c): Schnitt ist Nullvektor zwischen dne Räumen, daher [m]U_2[/m] zu einem Komplement erweiterbar, aus Dimensionsgründne schon gleich. Welche Sätze hattet ihr in der Vorlesung?
SEcki
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