lineara Abb. + Vektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Do 20.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Leute!
Ich hoffe, ihr könnt mir bei diesem Problem hier helfen. Ich saß so an der Aufgabe, aber ich wusste einfach nicht, wie ich sie anpacken soll.
Die Aufgabe:
(a) Sie V = [mm] \IR^{\IR} [/mm] der übliche Vektorraum über dem Körper [mm] \IR. [/mm] Gebe eine nichttriviale lineare Abbilung f : V [mm] \to [/mm] V an mit f [mm] \circ [/mm] f = f.
(b) Sei K ein Körper, und sei V ein K-Vektorraum. Weiter sei f : V [mm] \to [/mm] V linear mit f [mm] \circ [/mm] f = f.
Zeige: V = ker(f) [mm] \oplus [/mm] im(f).
Wie packe ich die Aufgabe an? Bei der (a) habe ich versucht, eine solche Abbildung zu finden, aber ich komm einfach nicht drauf.
Und bei der (b) weiß ich auch nicht, wie ich vorgehen soll. :-(
Könnt ihr mir bitte helfen, und mir zeigen oder sagen, wie ich die Aufgabe lösen kann? Oder könnt ihr mir bitte Tipps geben.
Vielen Dank im Voraus!
Ciao! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Do 20.01.2005 | | Autor: | Cassius |
Naja kommt darauf an wie die Abbildung aussehen soll. Wenn sie nicht bijektiv sein soll kannst du ja sagen:
Sei v [mm] \in [/mm] V mit [mm] v=\{e_{1}*v_{1},e_{2}*v_{2}....e_{n}*v_{n} \}
[/mm]
und sei B eine Basis von V mit [mm] B=\{e_{1},....e_{n}\}
[/mm]
Sei nun f(v) eine Abbildung mit
Krieg das mit dem Formeleditor nicht hin! Also Abbildung muss so aussehen:
f(v)= dann machst du eine große geschweifte Klammer und eine Fallunterscheidung:
v wird auf sich selbst abgebildet wenn v ein Vielfaches von einem Basisvektor ist.
sonst wird v auf 0 abgebildet
Dann hast du eine Abbildung die dir nur vielfache der Basisvektoren abbildet auf sich selbst selbst --> f°f wird auch auf einen vielfachen Basisvektor abgebildet. Damit ist f°f=f (Häckchen!)
Jetzt sind alle Basisvektoren und deren Vielfache im Bild von f und alle Linearkombinationen der Basen die selbst keine Basisvektoren sind (oder vielfache davon) im Kern von f. Dann setzt sich V offensichtlich in der direkten Summe zwischen Ker[f] und Bild[f] zusammen.
Ich hoffe ich täusche mich da nicht bin selbst erst im 2. Semester!
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