linear unabhängige Fkt. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Alias |
Hi!
Für folgende Aufgabe gabs 2 Punkte. Hab für meine
Lös.nur einen Punkt bekommen. War das gnädig?
Wie geht es richtig?
Frage:
Betrachte den Vektorraum der stetigen Fkt. von [0,1]
nach [mm] \IR. [/mm] Zeige, dass die beiden Fkt. [mm] e^{t} [/mm] und [mm] e^{2t}
[/mm]
lin. unabhängig sind. Bilden diese Fkt. auch eine Basis
des Vektorraums der stetigen Fkt von [0,1] nach [mm] \IR?
[/mm]
Lösung:
[mm] V=\IR[/mm] [t]
[mm] e^{t}, e^{2t} \in [/mm] V
[mm] \lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR
[/mm]
Da [mm] \lambda_{1}e^{t}+\lambda_{2}e^{2t}=0 [/mm]
folt daraus [mm] \forall e^{nt} \in \IR [/mm] hat das Polynom den
Wert 0. Also muß auch [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=0 [/mm] sein.
Also sind die Fkt. lu.
Zur Basis reicht es nicht, da z.B.
[mm] \lambda_{1}e^{t}+\lambda_{2}e^{2t}\not=e^{3t}
[/mm]
Daraus folgt kein Erzeugendensystem, also keine Basis.
Danke!
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> Hi!
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> Für folgende Aufgabe gabs 2 Punkte. Hab für meine
> Lös.nur einen Punkt bekommen.
Hallo,
daran muß man sich gewöhnen.
Wahrscheinlich gehörst Du zu den Leuten, denen in der Schule alles zugeflogen ist, und dann so etwas...
>War das gnädig?
Ja. Weil du das, was Du zeigen wolltest, nicht nachvollziehbar gezeigt hast.
Den Punkt hast Du bekommen, weil die gemerkt haben, daß Du weißt, was Du zeigen mußt.
> Wie geht es richtig?
>
> Frage:
> Betrachte den Vektorraum der stetigen Fkt. von [0,1]
> nach [mm]\IR.[/mm] Zeige, dass die beiden Fkt. f(x)= [mm]e^{t}[/mm] undg(x) [mm]e^{2t}[/mm]
> lin. unabhängig sind. Bilden diese Fkt. auch eine Basis
> des Vektorraums der stetigen Fkt von [0,1] nach [mm]\IR?[/mm]
Seien k,l [mm] \in \IR [/mm] mit
0=kf + lg
==> es ist [mm] 0=ke^t+le^{2t} [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] [0,1]
==> [mm] 0=e^t(k+le^t) [/mm] f.a. t [mm] \in [/mm] [0,1]
==> [mm] k+le^t=0 [/mm] f.a.t , denn [mm] e^t \not=0 [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] [0,1]
==> k=-l (t=0 eingesetzt) und k=-le (t=1 eingesetzt)
==> k=l=0 oder e=1
Letzteres ist nicht der Fall, also folgt
k=l=0.
Somit sind f und g linear unabhängig.
Leider reicht meine Zeit im Moment nicht mehr für die Basis.
Ich würde zeigen, daß man die konstante Funktion mit h(x)=1 nicht als Linearkombination darstellen kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Alias |
Salve Angela!
1. fliegt mir nichts einfach so zu.
2. Gehts nicht um den 1 Punkt, sondern um eine bessere Lösung.
Das war wohl falsch angekommen!
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