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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:44 So 03.10.2004 | | Autor: | eini |
Hallo ihr Schlauen!
Habe schon einige - vielleicht zu viele - Stunden mathe heute hinter mir,
komme momentan bei einer sehr leichten Aufgabe nicht zum Lösungsansatz - bin überzeugt, die hätte ich als 17-jähriger blind gelöst -
vielleicht ist es auch schon zu spät, Mann Mann Mann : ) ....
Also, Aufgabe lautet - ist mir fast peinlich, sie zu stellen - :
Wie zeigt man, daß, wenn die Vektoren a und b linear unabhängig sind, auch a+b und a-b es sind? Es ist intuitiv sofort klar, daß sie es natürlich auch sind - im Bett, in das ich mich gleich begeben werde, wird´s mir vermutlich einfallen...
Hey, man muß mit dem Forum hier umgehen lernen, sonst kommt man wirklich schon beim kleinsten Problem angerannt...
Good night everybody - und überschlagt euch nicht!
eini
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 So 03.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber eini!
> Hallo ihr Schlauen!
Bin ich nicht, aber ich hoffe, dass ich trotzdem antworten darf. 
> Habe schon einige - vielleicht zu viele - Stunden mathe
> heute hinter mir,
> komme momentan bei einer sehr leichten Aufgabe nicht zum
> Lösungsansatz - bin überzeugt, die hätte ich als
> 17-jähriger blind gelöst -
> vielleicht ist es auch schon zu spät, Mann Mann Mann : )
> Also, Aufgabe lautet - ist mir fast peinlich, sie zu
> stellen - :
Stell lieber mal eine Frage zuviel als eine zuwenig, wenn du dir unsicher bist. Und peinlich können fachliche Fragen eigentlich nie sein. 
> Wie zeigt man, daß, wenn die Vektoren a und b linear
> unabhängig sind, auch a+b und a-b es sind? Es ist intuitiv
> sofort klar, daß sie es natürlich auch sind - im Bett, in
> das ich mich gleich begeben werde, wird´s mir vermutlich
> einfallen...
Also, was müssen wir denn zeigen? Wir müssen zeigen, dass aus
(*) [mm] $\lambda \cdot [/mm] (a+b) + [mm] \mu \cdot [/mm] (a-b)=0$
die Beziehung
[mm] $\lambda= [/mm] 0 = [mm] \mu$
[/mm]
folgt.
Folgendes dürfen wir ausnutzen:
Aus
(**) [mm] $\tilde{\lambda}a [/mm] + [mm] \tilde{\mu} [/mm] b =0$
folgt:
[mm] $\tilde{\lambda} [/mm] = 0 = [mm] \tilde{\mu}$.
[/mm]
Was werden wir also versuchen?
Wir werden versuchen (*) so umzuformen, dass wir auf die Struktur von (**) kommen. Tun wir das also:
Aus (*) folgt durch Umsortieren nach $a$ und $b$:
[mm] $(\lambda [/mm] + [mm] \mu) [/mm] a + [mm] (\lambda [/mm] - [mm] \mu) [/mm] b =0$.
Daraus folgt aus (**) mit [mm] $\tilde{\lambda} [/mm] := [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu$ [/mm] und [mm] $\tilde{\mu}= \lambda [/mm] - [mm] \mu$:
[/mm]
[mm] $\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] = [mm] \tilde{\lambda} [/mm] = 0 = [mm] \tilde{\mu} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu$.
[/mm]
Wir haben also:
(***) [mm] $\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] = 0$ und [mm] $\lambda [/mm] - [mm] \mu=0$
[/mm]
und wollen daraus auf
(****) [mm] $\lambda=0$ [/mm] und [mm] $\mu=0$
[/mm]
schließen. Dies ist aber einfach, da (***) einfach ein Lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den beiden Unbekannten [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] darstellt, und wir dieses (etwa durch das Einsetzungs- oder das Additionsverfahren) lösen können und dadurch die Lösung (****) erhalten.
Insgesamt haben wir gezeigt:
Aus
(*) [mm] $\lambda \cdot [/mm] (a+b) + [mm] \mu \cdot [/mm] (a-b)=0$
folgt die Beziehung
[mm] $\lambda= [/mm] 0 = [mm] \mu$.
[/mm]
Damit haben wir die lineare Unabhängigkeit von $a+b$ und $a-b$ bewiesen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 So 03.10.2004 | | Autor: | eini |
Hallo lieber Stefan,
doch, doch, das bist du auf alle Fälle : ) !!
Habe deine Erklärung komplett verstanden, hätte nicht gedacht, daß der
Beweis so aufwendig ist. ( ...ist mir i.ü. nicht in der Nacht eingefallen...)
Wogegen ich mit Friedrichs Beweis nicht so recht zurecht kam...
Ich glaube, man muß Beweise einfach üben, dan fällt´s einem irgendwann
"leicht", ist ja doch was ganz anderes als irgendwelche Rechentechniken...
Also, vielen Dank an euch beide und bis bald!
eini
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Hallo eini,
als ich antworten wollte fiel mein system aus, jetz nutz ich das meiner Frau,
so
ist mir stefan zuvor gekommen - ich muß sagen, ich habe Schwierigkeiten seinen Ausführungen zu folgen.
Ich stellte mir das so vor
Es seien [mm] $x_a, y_a$ [/mm] zwei Elemente des Vektors $a$, ebenso [mm] $x_b, y_b$
[/mm]
di entsprechenden des Vektors $b$.
Für linear unabhängige $a,b$ gelten dann
mit $|r| [mm] \ne y_a$
[/mm]
[mm] $x_b [/mm] = [mm] x_a*q$ [/mm] aber
[mm] $y_b [/mm] = [mm] y_a*q [/mm] + r$ ( also [mm] $x_a [/mm] : [mm] x_b \ne y_a :y_b$
[/mm]
somit
[mm] $x_{a+b}=x_a*(1+q),\text{ }x_{a-b}=x_a*(1-q) [/mm] = [mm] x_{a+b}\bruch{1-q}{1+q}$
[/mm]
[mm] $y_{a+b}=y_a*(1+q),\text{ }y_{a-b}=y_a(1-q)-r \ne y_{a+b}\bruch{1-q}{1+q}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 So 03.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo FriedrichLaher!
> ist mir stefan zuvor gekommen - ich muß sagen, ich habe
> Schwierigkeiten seinen Ausführungen zu folgen.
An welcher Stelle hapert es denn? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Ich stellte mir das so vor
> Es seien [mm]x_a, y_a[/mm] zwei Elemente des Vektors [mm]a[/mm], ebenso [mm]x_b, y_b[/mm]
Wer sagt denn, dass es Elemente eines [mm] $\IK^n$ [/mm] sind? Es war nur von (abstrakten) Vektoren die Rede.
Viele Grüße
Stefan
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> > Schwierigkeiten seinen Ausführungen zu folgen.
>
> An welcher Stelle hapert es denn?
>
ok, nach etwas geduldigerem durchgehn hab's auch ich verstanden,
> > Ich stellte mir das so vor
> > Es seien [mm]x_a, y_a[/mm] zwei Elemente des Vektors [mm]a[/mm], ebenso
> [mm]x_b, y_b[/mm]
>
> Wer sagt denn, dass es Elemente eines [mm]\IK^n[/mm] sind? Es war
> nur von (abstrakten) Vektoren die Rede.
naja, was eini als 17jähriger "im Schlaf" gelöst hätte" hätte vermutlich nicht ganz so
abstakt sein dürfen.
LG
F.
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