lin. inh. DGL 3. Ord. mit AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Di 25.09.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | | Bestimme eine Lösung [mm] u:\IR\to\IR [/mm] von [mm] u'''-5u''+8u'-4u=e^t [/mm] mit den Anfangsbedingungen [mm] $u(0)\overset{}{=}0,$ [/mm] $u'(0)=1,$ $u''(0)=3$. |
Hallo
Es geht hier um eine lineare inhomogene DGL 3. Ordnung mit Anfangswertproblem.
Zunächst setzen wir [mm] y_1=u,\; y_2=u',\; y_3=u''.[/mm]
Dann gilt [mm] \vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3'}=\underbrace{\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & -8 & 5}}_{=A}\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}+\vektor{0 \\ 0 \\ e^t}.
[/mm]
Für das char. Polynom gilt [mm] \chi_A(x)=-x^3+5x^2-8x+4=-(x-2)^2(x-1) .
[/mm]
Berechnung des Eigenvektors zum Eigenwert 1: [mm] Ker(A-1)=Ker\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 4 & -8 & 4} \to Ker\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0}=Lin\left(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}\right).
[/mm]
Eigenwert 2: [mm] Ker(A-2)=Ker\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 4 & -8 & 3} \to Ker\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0}=Lin\left(\vektor{1 \\ 2 \\ 4}\right).
[/mm]
[mm] Ker(A-2)^2=Ker\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 4 & -8 & 3}^2 \to Ker\pmat{ 4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}=Lin\left(\vektor{1 \\ 2 \\ 4},\vektor{-1 \\ -1 \\ 0}\right).
[/mm]
Matrix S aus Eigenvektoren von A: [mm] S=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 4}. [/mm] Damit gilt [mm] S^{-1}AS=J=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2} [/mm] (Jordan-Form)
Als nächstes ist das Fundamentalsystem von Lösungen zu bestimmen.
$ [mm] S^{-1}AS=J \; [/mm] $ [mm] \gdw AS\overset{}{=}SJ.
[/mm]
[mm] y'=Ay\;
[/mm]
[mm] y'=SJS^{-1}y
[/mm]
[mm] (S^{-1}y)'=J(S^{-1}y)
[/mm]
definiere [mm] w:=S^{-1}y, [/mm] dann $w'=J*w$.
Basis des Lösungsraumes "in w": [mm] \left(\vektor{e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t} \\ \bruch{t^2}{2}e^{\lambda t}},\vektor{0 \\ e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda t}}\right)
[/mm]
"in y": $y=S*w$. Fundamentalsystem von Lösungen:
[mm] \left(\vektor{(1-t+\bruch{t^2}{2})e^{\lambda t} \\ (1-t+t^2)e^{\lambda t} \\ (1+2t^2)e^{\lambda t}},\vektor{(-1+t)e^{\lambda t} \\ (-1+2t)e^{\lambda t} \\ 4te^{\lambda t}},\vektor{e^{\lambda t} \\ 2e^{\lambda t} \\ 4e^{\lambda t}}\right)
[/mm]
An dieser Stelle ist mir allerdings nicht klar welche Eigenwerte ich nun für die [mm] \lambda [/mm] in den jeweiligen Vektoren einsetzen muss. In einem anderen Beispiel ist dieses [mm] \lambda [/mm] stets -2, da dort das Minimalpolynom das char. Polynom ist, also [mm] m_A(x)=\chi_A(x)=-(x+2)^3 [/mm] gilt, aber hier ...
Falls noch etwas unklar ist, einfach nachfragen.
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Hallo triad,
> Bestimme eine Lösung [mm]u:\IR\to\IR[/mm] von [mm]u'''-5u''+8u'-4u=e^t[/mm]
> mit den Anfangsbedingungen [mm]u(0)\overset{}{=}0,[/mm] [mm]u'(0)=1,[/mm]
> [mm]u''(0)=3[/mm].
>
> Hallo
>
> Es geht hier um eine lineare inhomogene DGL 3. Ordnung mit
> Anfangswertproblem.
>
> Zunächst setzen wir [mm]y_1=u,\; y_2=u',\; y_3=u''.[/mm]
>
> Dann gilt [mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3'}=\underbrace{\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & -8 & 5}}_{=A}\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}+\vektor{0 \\ 0 \\ e^t}.[/mm]
>
> Für das char. Polynom gilt
> [mm] \chi_A(x)=-x^3+5x^2-8x+4=-(x-2)^2(x-1) . [/mm]
>
> Berechnung des Eigenvektors zum Eigenwert 1:
> [mm]Ker(A-1)=Ker\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 4 & -8 & 4} \to Ker\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0}=Lin\left(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}\right).[/mm]
>
> Eigenwert 2: [mm]Ker(A-2)=Ker\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 4 & -8 & 3} \to Ker\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0}=Lin\left(\vektor{1 \\ 2 \\ 4}\right).[/mm]
>
> [mm]Ker(A-2)^2=Ker\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 4 & -8 & 3}^2 \to Ker\pmat{ 4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}=Lin\left(\vektor{1 \\ 2 \\ 4},\vektor{-1 \\ -1 \\ 0}\right).[/mm]
>
> Matrix S aus Eigenvektoren von A: [mm]S=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 4}.[/mm]
> Damit gilt [mm]S^{-1}AS=J=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2}[/mm]
> (Jordan-Form)
>
> Als nächstes ist das Fundamentalsystem von Lösungen zu
> bestimmen.
>
> [mm]S^{-1}AS=J \;[/mm] [mm]\gdw AS\overset{}{=}SJ.[/mm]
>
> [mm]y'=Ay\;[/mm]
>
> [mm]y'=SJS^{-1}y[/mm]
>
> [mm](S^{-1}y)'=J(S^{-1}y)[/mm]
>
> definiere [mm]w:=S^{-1}y,[/mm] dann [mm]w'=J*w[/mm].
>
> Basis des Lösungsraumes "in w": [mm]\left(\vektor{e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t} \\ \bruch{t^2}{2}e^{\lambda t}},\vektor{0 \\ e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda t}}\right)[/mm]
>
Hier liegt doch kein 3facher Eigenwert vor.
> "in y": [mm]y=S*w[/mm]. Fundamentalsystem von Lösungen:
>
> [mm]\left(\vektor{(1-t+\bruch{t^2}{2})e^{\lambda t} \\ (1-t+t^2)e^{\lambda t} \\ (1+2t^2)e^{\lambda t}},\vektor{(-1+t)e^{\lambda t} \\ (-1+2t)e^{\lambda t} \\ 4te^{\lambda t}},\vektor{e^{\lambda t} \\ 2e^{\lambda t} \\ 4e^{\lambda t}}\right)[/mm]
>
> An dieser Stelle ist mir allerdings nicht klar welche
> Eigenwerte ich nun für die [mm]\lambda[/mm] in den jeweiligen
> Vektoren einsetzen muss. In einem anderen Beispiel ist
> dieses [mm]\lambda[/mm] stets -2, da dort das Minimalpolynom das
> char. Polynom ist, also [mm]m_A(x)=\chi_A(x)=-(x+2)^3[/mm] gilt,
> aber hier ...
>
> Falls noch etwas unklar ist, einfach nachfragen.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mi 26.09.2012 | | Autor: | triad |
Hallo
Danke für deine Antwort.
Also ist diese Form der Basis des Lösungsraumes "in w" nur für einen Eigenwert mit Vielfachhet 3 geeignet; aber wie sehen die w's für meinen Fall aus? Das ist mir noch nicht klar.
Für eine [mm] 3\times3-Matrix [/mm] gibt es ja nur 3 Möglichkeiten für die Eigenwerte:
1) Ein Eigenwert mit Vielfachheit 3
2) Zwei Eigenwerte, einer mit Vielfachheit 1 und einer mit Vielfachheit 2
3) Drei Eigenwerte mit je Vielfachheit 1
Für 1) und 3) habe ich bereits Beispielaufgaben gerechnet, aber für 2) ist mir das noch unklar.
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Hallo triad,
> Hallo
> Danke für deine Antwort.
> Also ist diese Form der Basis des Lösungsraumes "in w"
> nur für einen Eigenwert mit Vielfachhet 3 geeignet; aber
> wie sehen die w's für meinen Fall aus? Das ist mir noch
> nicht klar.
>
Nun das ist auch von der geometrischen Vielfachheit der Eigenwerte abhängig.
> Für eine [mm]3\times3-Matrix[/mm] gibt es ja nur 3 Möglichkeiten
> für die Eigenwerte:
> 1) Ein Eigenwert mit Vielfachheit 3
> 2) Zwei Eigenwerte, einer mit Vielfachheit 1 und einer mit
> Vielfachheit 2
> 3) Drei Eigenwerte mit je Vielfachheit 1
>
> Für 1) und 3) habe ich bereits Beispielaufgaben gerechnet,
> aber für 2) ist mir das noch unklar.
>
Hier hast Du den Eigenwert 1 mit der geometrischen Vielfachheit 1
und für den Eigenwert 2 ebenfalls die geometrische Vielfachheit 1,
so daß eine Basis so aussieht:
[mm]\left(\vektor{e^{t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{2 t} \\ te^{2 t}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{2 t}}\right) [/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 26.09.2012 | | Autor: | triad |
Hallo nochmal,
Die geometrische Vielfachheit ist doch die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] richtig? Wie berechnet man die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte oder liest sie in meinen obigen Rechnungen direkt ab? Und: da der EW 2 die algebraische Vielfachheit 2 hat, kann seine geometrische Vielfachheit 1 oder 2 sein. Wie sieht die Basis aus, wenn die geometrische Vielfachheit des EW 2 = 2 wäre?
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Hallo triad,
> Hallo nochmal,
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> Die geometrische Vielfachheit ist doch die Dimension des
> Eigenraums zum Eigenwert [mm]\lambda,[/mm] richtig? Wie berechnet
Ja.
> man die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte oder liest
> sie in meinen obigen Rechnungen direkt ab? Und: da der EW 2
> die algebraische Vielfachheit 2 hat, kann seine
> geometrische Vielfachheit 1 oder 2 sein. Wie sieht die
> Basis aus, wenn die geometrische Vielfachheit des EW 2 = 2
> wäre?
So:
[mm] \left(\vektor{e^{t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{2 t} \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{2 t}}\right) [/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Fr 28.09.2012 | | Autor: | triad |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo.
Also gibt es dann eigentlich nur 6 Möglichkeiten, wie die Basis im 3-Dimensionalen aussehen kann, nämlich:
Ein Eigenwert, algebraische Vielfachheit 3, geometrische Vielfachheit 1:
$ \left(\vektor{e^{\lambda t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda t}}\right) $
Ein Eigenwert, algebraische Vielfachheit 3, geometrische Vielfachheit 2:
$ \left(\vektor{e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t} \\ 0},\vektor{0 \\ e^{\lambda t} \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda t}}\right) $
Ein Eigenwert, algebraische Vielfachheit 3, geometrische Vielfachheit 3:
$ \left(\vektor{e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t} \\ \bruch{t^2}{2}e^{\lambda t}},\vektor{0 \\ e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda t}}\right) $
Zwei Eigenwerte, algebraische Vielfachheit \lambda_1=2, \lambda_2=1, geometrische Vielfachheit beide 1:
$ \left(\vektor{e^{\lambda_2 t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{\lambda_1 t} \\ te^{\lambda_1 t}}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda_1 t}}\right) $
Zwei Eigenwerte, algebraische Vielfachheit \lambda_1=2, \lambda_2=1, geometrische Vielfachheit \lambda_1=2, \lambda_2=1:
$ \left(\vektor{e^{\lambda_2 t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{\lambda_1 t} \\ 0}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda_1 t}}\right) $
Drei Eigenwerte, algebraische Vielfachheit jeweils 1, geometrische Vielfachheit jeweils 1:
$ \left(\vektor{e^{\lambda_1 t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{\lambda_2 t} \\ 0}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda_3 t}}\right) $
Weil ich nicht wüsste wie man sonst die Basis aus dem Wissen der EW und deren geom. Vielfachheit aufstellt, ausser eben wie oben.
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Hallo triad,
> Hallo.
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> Also gibt es dann eigentlich nur 6 Möglichkeiten, wie die
> Basis im 3-Dimensionalen aussehen kann, nämlich:
>
> Ein Eigenwert, algebraische Vielfachheit 3, geometrische
> Vielfachheit 1:
> [mm]\left(\vektor{e^{\lambda t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda t}}\right)[/mm]
>
Das stimmt nicht, da es nur einen Eigenvektor gibt.
> Ein Eigenwert, algebraische Vielfachheit 3, geometrische
> Vielfachheit 2:
> [mm]\left(\vektor{e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t} \\ 0},\vektor{0 \\ e^{\lambda t} \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda t}}\right)[/mm]
>
> Ein Eigenwert, algebraische Vielfachheit 3, geometrische
> Vielfachheit 3:
> [mm]\left(\vektor{e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t} \\ \bruch{t^2}{2}e^{\lambda t}},\vektor{0 \\ e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda t}}\right)[/mm]
>
Das stimmt auch nicht, da es 3 Eigenvektoren gibt.
> Zwei Eigenwerte, algebraische Vielfachheit [mm]\lambda_1=2, \lambda_2=1,[/mm]
> geometrische Vielfachheit beide 1:
> [mm]\left(\vektor{e^{\lambda_2 t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{\lambda_1 t} \\ te^{\lambda_1 t}}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda_1 t}}\right)[/mm]
>
> Zwei Eigenwerte, algebraische Vielfachheit [mm]\lambda_1=2, \lambda_2=1,[/mm]
> geometrische Vielfachheit [mm]\lambda_1=2, \lambda_2=1:[/mm]
>
> [mm]\left(\vektor{e^{\lambda_2 t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{\lambda_1 t} \\ 0}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda_1 t}}\right)[/mm]
>
> Drei Eigenwerte, algebraische Vielfachheit jeweils 1,
> geometrische Vielfachheit jeweils 1:
> [mm]\left(\vektor{e^{\lambda_1 t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{\lambda_2 t} \\ 0}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{\lambda_3 t}}\right)[/mm]
>
> Weil ich nicht wüsste wie man sonst die Basis aus dem
> Wissen der EW und deren geom. Vielfachheit aufstellt,
> ausser eben wie oben.
>
Nun, Du hast die JNF berechnet.
Sei die Matrix der JNF M, dann ist ein Fundamentalsystem
[mm]e^{t*M}[/mm]
,wobei Du dies dann durch sie Taylorreihe ersetzt:
[mm]e^{t*M}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*M^{k}[/mm]
,wobei [mm]M^{k}=\underbrace{M \ * \ \cdots \ * \ M}_{k-mal}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Fr 28.09.2012 | | Autor: | triad |
Das verstehe ich leider nicht so recht. Kannst du nochmal Schritt für Schritt erklären wie ich von den Eigenwerten zu der richtigen Form der Basis komme und was da eben die Kriterien sind?
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Hallo triad,
> Das verstehe ich leider nicht so recht. Kannst du nochmal
> Schritt für Schritt erklären wie ich von den Eigenwerten
> zu der richtigen Form der Basis komme und was da eben die
> Kriterien sind?
Wenn S eine Matrix mit den berechneten Eigenvektoren ist,
dann ist [mm]S^{-1}AS[/mm] in Jordan-Normalform (JNF),
die hier die Gestalt
[mm]\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2}[/mm]
hat.
Dann lautet das transformierte System
[mm]w'=\underbrace{\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2}}_{=M}*w, \ w \in \IR^{3}[/mm]
bzw.
[mm]w'=M*w, \ w \in \IR^{3}[/mm]
Eine Lösung dieses System ist
[mm]w=e^{t*M}[/mm]
Dabei ist
[mm]e^{t*M}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}M^{k}[/mm]
,wobei [mm]M^{k}[/mm] die k. Potenz der Matrix M ist.
So sind die ersten Schritte um zu einem Fundamentalsystem zu kommen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 29.09.2012 | | Autor: | triad |
Mit der Basis [mm] W=(w_1,w_2,w_3)=$ \left(\vektor{e^{t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{2 t} \\ te^{2 t}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{2 t}}\right) [/mm] $ berechnet man nun über [mm] S\cdot{w_i} [/mm] das Fundamentalsystem
[mm] \underbrace{\vektor{ e^t \\ e^t \\ e^t }}_{(y^{(1)}(t)},\underbrace{\vektor{ (t-1)e^{2t} \\ (2t-1)e^{2t} \\ 4te^{2t} }}_{y^{(2)}(t)},\underbrace{\vektor{ e^{2t} \\ 2e^{2t} \\ 4e^{2t}}}_{y^{(3)}(t))}.
[/mm]
Um die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung zu bestimmen wird das Verfahren der Variation der Konstanten verwendet. Hierfür setze
y(t) = [mm] \lambda_1(t)y^{(1)}(t) [/mm] + [mm] \lambda_2(t)y^{(2)}(t) [/mm] + [mm] \lambda_3(t)y^{(3)}(t)
[/mm]
mit
[mm] \vektor{\lambda_1(t)\\\lambda_2(t)\\\lambda_3(t)}=const+\integral_{0}^{t}{Y(s)^{-1}\cdot{\vektor{0\\0\\e^t}}\ ds}
[/mm]
mit
[mm] Y(t)=\pmat{e^t&(t-1)e^{2t}&e^{2t}\\e^t&(2t-1)e^{2t}&2e^{2t}\\e^t&4te^{2t}&4e^{2t}}.
[/mm]
Darf man bei der Invertierung von Y(t) ohne Bedenken eine Zeile mit t multiplizieren/durch t dividieren?
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Hallo triad,
> Mit der Basis [mm]W=(w_1,w_2,w_3)=[/mm] [mm]\left(\vektor{e^{t} \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ e^{2 t} \\ te^{2 t}},\vektor{0 \\ 0 \\ e^{2 t}}\right)[/mm]
> berechnet man nun über [mm]S\cdot{w_i}[/mm] das Fundamentalsystem
>
> [mm]\underbrace{\vektor{ e^t \\ e^t \\ e^t }}_{(y^{(1)}(t)},\underbrace{\vektor{ (t-1)e^{2t} \\ (2t-1)e^{2t} \\ 4te^{2t} }}_{y^{(2)}(t)},\underbrace{\vektor{ e^{2t} \\ 2e^{2t} \\ 4e^{2t}}}_{y^{(3)}(t))}.[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Um die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung zu bestimmen
> wird das Verfahren der Variation der Konstanten verwendet.
> Hierfür setze
>
> y(t) = [mm]\lambda_1(t)y^{(1)}(t)[/mm] + [mm]\lambda_2(t)y^{(2)}(t)[/mm] +
> [mm]\lambda_3(t)y^{(3)}(t)[/mm]
>
> mit
>
> [mm]\vektor{\lambda_1(t)\\\lambda_2(t)\\\lambda_3(t)}=const+\integral_{0}^{t}{Y(s)^{-1}\cdot{\vektor{0\\0\\e^t}}\ ds}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]Y(t)=\pmat{e^t&(t-1)e^{2t}&e^{2t}\\e^t&(2t-1)e^{2t}&2e^{2t}\\e^t&4te^{2t}&4e^{2t}}.[/mm]
>
> Darf man bei der Invertierung von Y(t) ohne Bedenken eine
> Zeile mit t multiplizieren/durch t dividieren?
Nein, denn dann ist es ja nicht mehr die Inverse von Y(t).
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 So 30.09.2012 | | Autor: | triad |
Das stimmt, denn wenn t=0 ist, hat man ein Problem (trotzdem kam das richtige Ergebnis dabei raus). Aber das t-fache einer Zeile zu einer anderen Zeile hinzuaddieren darf man doch wiederum machen oder? Allerdings kommt dann in der 3. Zeile der 4. Matrix ein [mm] \bruch{1}{t} [/mm] rein und das ist dann unbedenklich?
[mm] Y(t)=\pmat{e^t&(t-1)e^{2t}&e^{2t}\\e^t&(2t-1)e^{2t}&2e^{2t}\\e^t&4te^{2t}&4e^{2t}}\begin{matrix} \\ -I \\ -I \end{matrix} \quad\to\quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t} \\ 0&te^{2t} &e^{2t} \\ 0& 3te^{2t}+e^{2t}&3e^{2t}}\begin{matrix} \\ \to \\ -3*II \end{matrix} \quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t} \\ 0&te^{2t} &e^{2t} \\ 0& e^{2t}&0}\begin{matrix} \\ \to \\ -\frac{1}{t}*II \end{matrix} \quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t} \\ 0&te^{2t} &e^{2t} \\ 0& 0&-\frac{1}{t}e^{2t}}\begin{matrix} \\ \\ . \end{matrix}
[/mm]
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Hallo triad,
> Das stimmt, denn wenn t=0 ist, hat man ein Problem
> (trotzdem kam das richtige Ergebnis dabei raus). Aber das
> t-fache einer Zeile zu einer anderen Zeile hinzuaddieren
> darf man doch wiederum machen oder? Allerdings kommt dann
> in der 3. Zeile der 4. Matrix ein [mm]\bruch{1}{t}[/mm] rein und das
> ist dann unbedenklich?
>
> [mm]Y(t)=\pmat{e^t&(t-1)e^{2t}&e^{2t}\\e^t&(2t-1)e^{2t}&2e^{2t}\\e^t&4te^{2t}&4e^{2t}}\begin{matrix} \\ -I \\ -I \end{matrix} \quad\to\quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t} \\ 0&te^{2t} &e^{2t} \\ 0& 3te^{2t}+e^{2t}&3e^{2t}}\begin{matrix} \\ \to \\ -3*II \end{matrix} \quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t} \\ 0&te^{2t} &e^{2t} \\ 0& e^{2t}&0}\begin{matrix} \\ \to \\ -\frac{1}{t}*II \end{matrix} \quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t} \\ 0&te^{2t} &e^{2t} \\ 0& 0&-\frac{1}{t}e^{2t}}\begin{matrix} \\ \\ . \end{matrix}[/mm]
>
Ich weiss nicht, was Du hier machst.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mo 01.10.2012 | | Autor: | triad |
Es gilt doch nun die Inverse von Y(t) zu berechnen. Ich habe das so gelernt, dass man die Einheitsmatrix hinter die zu invertierende Matrix schreibt
$( Y(t) | [mm] E_3 [/mm] )$,
dann die zu invertierende Matrix mittels Zeilen-/Spaltenoperationen zur Einheitsmatrix umformt und genau diese Operationen an der Einheitsmatrix ausführt, so dass zum Schluss die Inverse rechts und die Einheitsmatrix links steht
$( [mm] E_3 [/mm] | [mm] Y^{-1}(t) [/mm] )$.
Man behandelt dieses Gebilde im Prinzip wie eine einzige Matrix. Ich rechne das mal hier vor:
[mm] \pmat{e^t&(t-1)e^{2t} & e^{2t} & | & 1&0 &0 \\e^t&(2t-1)e^{2t}&2e^{2t}&|&0&1&0\\e^t&4te^{2t}&4e^{2t}&|&0&0&1}\begin{matrix} \\ -I \\ -I \end{matrix} \quad\to\quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t}&|&1&0&0 \\ 0&te^{2t} &e^{2t}&|&-1&1&0 \\ 0& 3te^{2t}+e^{2t}&3e^{2t}&|&-1&0&1}\begin{matrix} \\ \to \\ -3\cdot{}II \end{matrix} \quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t}&|&1&0&0 \\ 0&te^{2t} &e^{2t}&|&-1&1&0 \\ 0& e^{2t}&0&|&2&-3&1}\begin{matrix} \\ \to \\ -\frac{1}{t}\cdot{}II \end{matrix}
[/mm]
[mm] \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t}&|&1&0&0 \\ 0&te^{2t} &e^{2t}&|&-1&1&0 \\ 0& 0&-\frac{1}{t}e^{2t}&|&2+\frac{1}{t}&-3-\frac{1}{t}&1}\begin{matrix} I+t*III\\ II+t*III \\ \end{matrix}\to \quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & 0&|&2t+2&-3t-1&t \\ 0&te^{2t} &0&|&2t&-3t&t \\ 0& 0&-\frac{1}{t}e^{2t}&|&2+\frac{1}{t}&-3-\frac{1}{t}&1}\begin{matrix} I-II\\ \to \\ \end{matrix} \quad \pmat{e^t & -e^{2t} & 0&|&2&-1&0 \\ 0&te^{2t} &0&|&2t&-3t&t \\ 0& 0&-\frac{1}{t}e^{2t}&|&2+\frac{1}{t}&-3-\frac{1}{t}&1}\begin{matrix} I+\frac{1}{t}*II\\ \to \\ \end{matrix}
[/mm]
[mm] \pmat{e^t & 0 & 0&|&4&-4&1 \\ 0&te^{2t} &0&|&2t&-3t&t \\ 0& 0&-\frac{1}{t}e^{2t}&|&2+\frac{1}{t}&-3-\frac{1}{t}&1}\begin{matrix} *e^{-t}\\ *\frac{1}{t}e^{-2t} \\ *(-te^{-2t}) \end{matrix}\to\pmat{1 & 0 & 0&|&4e^{-t}&-4e^{-t}&e^{-t} \\ 0&1 &0&|&2e^{-2t}&-3e^{-2t}&e^{-2t} \\ 0& 0&1&|&-2te^{-2t}-e^{-2t}&3te^{-2t}+e^{-2t}&-te^{-2t}}\begin{matrix} \\ \\ . \end{matrix}
[/mm]
Ok, passt eigentlich soweit alles. Das einzige was man jetzt noch bemängeln könnte, wäre die letzte Operation, weil man dort mit t multiplizieren muss, um links die Einheitsmatrix zu erhalten. Aber anders geht es doch nicht?
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Hallo triad,
> Es gilt doch nun die Inverse von Y(t) zu berechnen. Ich
> habe das so gelernt, dass man die Einheitsmatrix hinter die
> zu invertierende Matrix schreibt
>
> [mm]( Y(t) | E_3 )[/mm],
>
> dann die zu invertierende Matrix mittels
> Zeilen-/Spaltenoperationen zur Einheitsmatrix umformt und
> genau diese Operationen an der Einheitsmatrix ausführt, so
> dass zum Schluss die Inverse rechts und die Einheitsmatrix
> links steht
>
> [mm]( E_3 | Y^{-1}(t) )[/mm].
>
> Man behandelt dieses Gebilde im Prinzip wie eine einzige
> Matrix. Ich rechne das mal hier vor:
>
> [mm]\pmat{e^t&(t-1)e^{2t} & e^{2t} & | & 1&0 &0 \\e^t&(2t-1)e^{2t}&2e^{2t}&|&0&1&0\\e^t&4te^{2t}&4e^{2t}&|&0&0&1}\begin{matrix} \\ -I \\ -I \end{matrix} \quad\to\quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t}&|&1&0&0 \\ 0&te^{2t} &e^{2t}&|&-1&1&0 \\ 0& 3te^{2t}+e^{2t}&3e^{2t}&|&-1&0&1}\begin{matrix} \\ \to \\ -3\cdot{}II \end{matrix} \quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t}&|&1&0&0 \\ 0&te^{2t} &e^{2t}&|&-1&1&0 \\ 0& e^{2t}&0&|&2&-3&1}\begin{matrix} \\ \to \\ -\frac{1}{t}\cdot{}II \end{matrix}[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & e^{2t}&|&1&0&0 \\ 0&te^{2t} &e^{2t}&|&-1&1&0 \\ 0& 0&-\frac{1}{t}e^{2t}&|&2+\frac{1}{t}&-3-\frac{1}{t}&1}\begin{matrix} I+t*III\\ II+t*III \\ \end{matrix}\to \quad \pmat{e^t & (t-1)e^{2t} & 0&|&2t+2&-3t-1&t \\ 0&te^{2t} &0&|&2t&-3t&t \\ 0& 0&-\frac{1}{t}e^{2t}&|&2+\frac{1}{t}&-3-\frac{1}{t}&1}\begin{matrix} I-II\\ \to \\ \end{matrix} \quad \pmat{e^t & -e^{2t} & 0&|&2&-1&0 \\ 0&te^{2t} &0&|&2t&-3t&t \\ 0& 0&-\frac{1}{t}e^{2t}&|&2+\frac{1}{t}&-3-\frac{1}{t}&1}\begin{matrix} I+\frac{1}{t}*II\\ \to \\ \end{matrix}[/mm]
>
> [mm]\pmat{e^t & 0 & 0&|&4&-4&1 \\ 0&te^{2t} &0&|&2t&-3t&t \\ 0& 0&-\frac{1}{t}e^{2t}&|&2+\frac{1}{t}&-3-\frac{1}{t}&1}\begin{matrix} *e^{-t}\\ *\frac{1}{t}e^{-2t} \\ *(-te^{-2t}) \end{matrix}\to\pmat{1 & 0 & 0&|&4e^{-t}&-4e^{-t}&e^{-t} \\ 0&1 &0&|&2e^{-2t}&-3e^{-2t}&e^{-2t} \\ 0& 0&1&|&-2te^{-2t}-e^{-2t}&3te^{-2t}+e^{-2t}&-te^{-2t}}\begin{matrix} \\ \\ . \end{matrix}[/mm]
>
> Ok, passt eigentlich soweit alles. Das einzige was man
> jetzt noch bemängeln könnte, wäre die letzte Operation,
> weil man dort mit t multiplizieren muss, um links die
> Einheitsmatrix zu erhalten. Aber anders geht es doch
> nicht?
>
Als Endgestalt muss nicht unbedingt, die Einheitsmatrix erreicht werden.
Es reicht wenn da eine Permutation der Einheitsmatrix steht.
Die Operation mit der Division durch t hätte ich vermieden.
Gruss
MathePower
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