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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 10:25 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallo zusammen!
Ich bearbeite gerade eine Aufgabe und habe dazu Fragen.
Ich hoffe, dass mir da jemand weiterhelfen kann.
Also:
Es seien
A= [mm] \pmat{ -2 & 0 & -5 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 4 }
[/mm]
und
B= [mm] \pmat{ -1 & 0 & -4 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 5 }
[/mm]
Matrizen in [mm] \IQ^{3x3}
[/mm]
a) Bestimme die EW und die Eigenräume von A und B.
b) Sind die von A und B induzierten linearen Abb. diagonalisierbar?
c) Es sei f die von A induzierte lineare Abb [mm] \IQ^{3x3} \to \IQ^{3x3}. [/mm] Bestimmen Sie das größte n [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] f^{0}, f^{1}, f^{2}, [/mm] ..., [mm] f^{n} [/mm] lineare unabhängig sind.
zu a) und b)
Mein charakteristisches Polynom zu A ist: [mm] -x^{3} [/mm] + [mm] 3x^{2} [/mm] - x + 3.
Zur Nullstellenberechnung mache ich Polynomdivision mit (x-3). Dadurch erhalte ich die Nullstellen [mm] x_{1}=3 [/mm] und [mm] x_{2}= \wurzel{-1}. [/mm] Da wir in [mm] \IQ [/mm] sind, hat das Polynom also nur die Nullstelle 3. Also EW 3.
Zur Eigenraumberechnung gehe ich so vor:
Eig(A,3) = [mm] \pmat{ -5 & 0 & -5 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 }. [/mm] Nun sieht man ja sofort, dass Spalte 1 und Spalte 3 linear abhängig sind. Wie müsste ich weitervorgehen, wenn ich diese Feststellung ausnutzen würde.
Ich habe "ganz normal" weitergerechnet (eben so also ob sie nicht l.a. sind) und bin dann auf die Matrix gekommen. [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also Eig(A,3) = < [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] >
Mein charakteristisches Polynom zu B ist: [mm] -x^{3} [/mm] + [mm] 5x^{2} [/mm] - 7x + 3.
Zur Nullstellenberechnung mache ich Polynomdivision mit (x-1). Dadurch erhalte ich die Nullstellen [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=3. [/mm] Also EW 1 und 3.
Zur Eigenraumberechnung gehe ich so vor:
Eig(B,1) = [mm] \pmat{ -2 & 0 & -4 \\ 2 & 0 & 4 \\ 2 & 0 & 4 }. [/mm]
Nun sieht man ja sofort, dass alle Zeilen und alle Spalten linear abhängig sind.
Wie müsste ich weitervorgehen, wenn ich diese Feststellung ausnutzen würde.
Ich habe "ganz normal" weitergerechnet (eben so also ob sie nicht l.a. sind) und bin dann auf die Matrix gekommen. [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Wie lautet dann der Eig?
Ist Eig(A,1) = < [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0}, \vektor{-2 \\ 0 \\ 1} [/mm] > richtig?
Eig(B,3) = Mein charakteristisches Polynom zu A ist: [mm] -x^{3} [/mm] + [mm] 3x^{2} [/mm] - x + 3.
Zur Nullstellenberechnung mache ich Polynomdivision mit (x-3). Dadurch erhalte ich die Nullstellen [mm] x_{1}=3 [/mm] und [mm] x_{2}= \wurzel{-1}. [/mm] Da wir in [mm] \IQ [/mm] sind, hat das Polynom also nur die Nullstelle 3. Also EW 3.
Zur Eigenraumberechnung gehe ich so vor:
Eig(A,3) = [mm] \pmat{ -4 & 0 & -4 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 }. [/mm]
Dafür erhalte ich die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also Eig(A,3) = < [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 1} [/mm] >
Bei mir wäre B diagonalisierbar.
zu c)
Aus meinen vorherigen Berechnungen weiß ich ja, dass die lineare Abb. bei n = 3 linear abhänig ist.
Also muss ich ja nur von 0 bis 2 testen.
Aber es kann doch nicht der richtige Weg sein, zu probieren, für welches n die Abb. linear abhänig ist.
Eine andere Frage: Wenn ich Zeilenvertauschungen mache (also z.B. Zeile 1 und Zeile 2 tausche), dann muss ich doch am Ende die Zeilen im Vektor wieder tauschen?
Ich habe z.B. [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] raus. Während der Umformung habe ich Z.1 und Z.2 getauscht. Also wäre der Vektor doch dann < [mm] \vektor{-4 \\ -2 \\ 1} [/mm] >. Oder?
Vielen lieben Dank!
Ich hab die Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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