lin. DGL 1. Ordung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Sa 03.05.2008 | | Autor: | rennreh |
| Aufgabe | | Integrieren sie die DGL [mm] y`=\wurzel{y} [/mm] |
Da diese Gleichung eine Inhomogene lin. Differentialgleichung ist bin ich zu folgendem Ansatz gekommen:
[mm] \bruch{dy}{dx}=\wurzel{y}
[/mm]
durch umstellen erhalte ich:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{\wurzel{y}}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{dx}
[/mm]
soweit sogut.
in der übung hat unser dozent folgendes ergebnis angeschreiben:
durch lösung des integrals entsteht:
[mm] 2*\wurzel{y} [/mm] = x + c
und folglich nach y umgestellt:
y = [mm] \bruch{(x+c)^2}{4}
[/mm]
Was ich an der Sache nciht verstehe ist, die Integration von dem Ausdruck:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{\wurzel{y}}}
[/mm]
ich würde erstmal substituieren:
[mm] u=\wurzel{y}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{u}}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{y}}
[/mm]
dy = [mm] 2*\wurzel{y}*du
[/mm]
durch rücksubstitution:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2*\wurzel{y}*du}{u} }
[/mm]
was letzten endes folgendes ergibt:
[mm] \bruch{2*\wurzel{y}}{ln(\wurzel{y})}
[/mm]
Welches ist nun richtig, meine version oder die von unserem dozenten ?
wenn ja würde ich gern wissen was er dort gemacht hat.
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{\wurzel{y}}}[/mm]
>
> ich würde erstmal substituieren:
>
> [mm]u=\wurzel{y}[/mm]
Man kann es sich auch schwerer machen, als es ist.
[mm] \bruch{1}{\wurzel{y}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y^{\bruch{1}{2}}} [/mm] = [mm] y^{-\bruch{1}{2}}.
[/mm]
Dann kannst du das Integral ganz einfach mit Potenzregel lösen 
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{u}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dy}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{y}}[/mm]
>
> dy = [mm]2*\wurzel{y}*du[/mm]
>
> durch EINSETZEN:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2*\wurzel{y}*du}{u} }[/mm]
Bis hierher stimmt's noch. Aber zieh' doch mal deine Substitution durch!
Denn es ist doch [mm] \wurzel{y} [/mm] = u und folglich
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{2*\wurzel{y}*du}{u} }[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2*u*du}{u} }[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{2 du }[/mm]
Das kannst du sehr leicht lösen und die (darauf folgende!) Rücksubstitution bringt dich genau zum gleichen Ergebnis wie die Variante oben.
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