limsup und liminf < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 So 15.11.2009 | | Autor: | esel99 |
| Aufgabe | Es seien [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \IP) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum und [mm] (A_{n})_n\in\IN [/mm] eine Folge messbarer Mengen.
Zeigen Sie: [mm] \IP(\limes_{n\rightarrow\infty}sup A_{n}) \ge \limes_{n\rightarrow\infty}sup \IP(A_{n}) \ge \limes_{n\rightarrow\infty}inf \IP(A_{n}) \ge \IP(\limes_{n\rightarrow\infty}inf A_{n}) [/mm] |
Hallo,
ich habe einen Tipp bekommen (weiß aber nicht, ob er richtig ist), dass ich [mm] B_{n}:= \inf_{k\ge n} A_{k} [/mm] setzen soll.
Dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} B_{n}= \sup_{n\ge 1} A_{k}. [/mm] Aber warum nur?
Wenn ich das habe, ist mir klar, dass ich diese (Un)gleichungen habe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}inf \IP(A_{n}) \ge \limes_{n\rightarrow\infty} \IP(B_{n}) [/mm] = [mm] \IP(\limes_{n\rightarrow\infty} B_{n}) [/mm] = [mm] \IP(\limes_{n\rightarrow\infty}inf A_{n}).
[/mm]
Zu [mm] \IP(\limes_{n\rightarrow\infty}sup A_{n}) \ge \limes_{n\rightarrow\infty}sup \IP(A_{n}) [/mm] weiß ich nur, dass ich [mm] A_{n}:= [/mm] B - [mm] A_{n} [/mm] definieren soll. Ich habe jedoch keine Ahnung, was ich damit weiter machen soll.
Kann mir jemand helfen? Vielleicht weiß jemand eine andere Lösung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Mo 16.11.2009 | | Autor: | vivo |
sei [mm] \mu(\cup_{k>=n}A_k)<\infty [/mm] für ein [mm] n\in \IN \quad \quad (\*)
[/mm]
[mm] \mu (limsup_{(n \to \infty)}A_n))=\mu(\cap_{n>=1}(\cup_{k>=n}A_k))
[/mm]
dann gilt: [mm] \cup_{k>=1}(A_k)\supset \cup_{k>=2}(A_k)\supset ...\supset \cup_{k>=n}(A_k) \supset \cup_{k>=n+1}(A_k) \supset...
[/mm]
wegen der stetigkeit von oben und [mm] (\*) [/mm] folgt:
[mm] \mu(\cap_{n>=1}(\cup_{k>=n}(A_k)))=lim_{n \to \infty}(\mu(\cup_{k>=n}(A_k)))
[/mm]
wegen der Monotonie des Maßes:
[mm] \mu(\cup_{k>=n}(A_k))>=\mu(A_k) [/mm]
[mm] \mu(\cup_{k>=n}(A_k))>=sup_{k>=n}(\mu(A_k))
[/mm]
=> [mm] lim_{n \to \infty}(\mu(\cup_{k>=n}(A_k)))>=lim_{n \to \inf}((sup_{k>=n}(\mu(A_k))))=limsup_{n \to \infty}(\mu(A_n))
[/mm]
dass wäre der erste teil und dann analog den zweiten
gruß
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