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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{1}{x^{3}} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{x^{2}}{sin(\wurzel{t}) dt} [/mm] |
Hallo!
Ich bin mir nicht ganz sicher ob mein Rechenweg richtig ist und zum Schluss fehlt mir noch ein kleiner Tip um es dann ganz lösen zu können.
und zwar bin ich soweit gekommen: substitution [mm] \wurzel{t} [/mm] = z
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{1}{x^{3}} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{x^{2}}{sin(z) *2z dz}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{1}{x^{3}} [/mm] *[ [-cos z *2z] (von 0 bis [mm] x^{2}) [/mm] +2*[sin(z)] (von 0-> [mm] x^{2})]
[/mm]
so und nun hätte ich die Resubstitution gemacht
also
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{1}{x^{3}} [/mm] *[ [-cos [mm] \wurzel{t} *2\wurzel{t}] [/mm] (von 0 bis [mm] x^{2}) +2*[sin(\wurzel{t})] [/mm] (von 0-> [mm] x^{2})]
[/mm]
so nun weiss ich aber nicht so richtig weiter mit den Grenzen einsetzen, wäre das dann
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{1}{x^{3}} [/mm] *[ [-cos x*2 x - cos(0)*0] +2*[sin x - 0]
so und das wäre dann:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{-cos(x)*2x+ 2*sinx}{x^{3}} [/mm]
wenn es gegen 0 + läuft, wäre das dann o/o -> l'hopital also:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{sinx*2x}{3*x^{2}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{2x*cosx + 2 sinx}{6x}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{4cosx - 2x sinx}{6} [/mm] = [mm] \bruch{4}{6}
[/mm]
So, jetzt hat sich das doch bis zum Ende gelöst, bleibt nur die Frage bei der langen Rechnung, ob das so stimmt, bin mir da oben bei dem einsetzen einfach unsicher.
Danke fürs drüberschauen!
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Hallo Katja,
Lasse beim Limes den Backslash vor der Null weg, und mache stattdessen ein Leerzeichen, dann wird sie auch angezeigt 
> Berechnen Sie
> [mm]\limes_{x\rightarrow O+} \bruch{1}{x^{3}}[/mm] * [mm]\integral_{0}^{x^{2}}{sin(\wurzel{t}) dt}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher ob mein Rechenweg richtig ist
> und zum Schluss fehlt mir noch ein kleiner Tip um es dann
> ganz lösen zu können.
>
> und zwar bin ich soweit gekommen: substitution [mm]\wurzel{t}[/mm] = z ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist ein guter Plan!
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow O+} \bruch{1}{x^{3}}[/mm] * [mm]\integral_{0}^{x^{2}}{sin(z) *2z dz}[/mm]
Du musst die Grenzen schon mitsubstituieren oder du rechnest in einer Nebenrechnung das unbestimmte Integral [mm] $\int{\sin(\sqrt{t}) \ dt}$ [/mm] aus und setzt am Ende die Grenzen $t=0, \ [mm] t=x^2$ [/mm] ein ...
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow O+} \bruch{1}{x^{3}}[/mm] *[ [-cos z *2z]
> (von 0 bis [mm]x^{2})[/mm] +2*[sin(z)] (von 0-> [mm]x^{2})][/mm]
>
> so und nun hätte ich die Resubstitution gemacht
>
> also
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow O+} \bruch{1}{x^{3}}[/mm] *[ [-cos
> [mm]\wurzel{t} *2\wurzel{t}][/mm] (von 0 bis [mm]x^{2}) +2*[sin(\wurzel{t})][/mm]
> (von 0-> [mm]x^{2})][/mm]
>
> so nun weiss ich aber nicht so richtig weiter mit den
> Grenzen einsetzen, wäre das dann
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow O+} \bruch{1}{x^{3}}[/mm] *[ [-cos x*2 x -
> cos(0)*0] +2*[sin x - 0]
>
> so und das wäre dann:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow O+} \bruch{-cos(x)*2x+ 2*sinx}{x^{3}}[/mm]
>
> wenn es gegen 0 + läuft, wäre das dann o/o -> l'hopital
> also:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{sinx*2x}{3*x^{2}}[/mm]
Hier vllt. direktemeng [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] ausklammern ...
> =
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{2x*cosx + 2 sinx}{6x}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{4cosx - 2x sinx}{6}[/mm] = [mm]\bruch{4}{6}[/mm]
[mm] $=\frac{2}{3}$
[/mm]
>
> So, jetzt hat sich das doch bis zum Ende gelöst, bleibt
> nur die Frage bei der langen Rechnung, ob das so stimmt,
> bin mir da oben bei dem einsetzen einfach unsicher.
Ja, das passt schon, nur musst du beim Substituieren mit den Grenzen aufpassen, siehe Bem. oben
>
> Danke fürs drüberschauen!
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, also die rechnung war richtig, das ist ja schonmal gut.
aber ich weiss nicht genau, wie ich das aufschreiben soll, bei der substitution mit den grenzen, dass es dann konmplett korrekt ist.
ich substituiere ja nur das t und nicht das x, deswegen hab ich gedacht bleiben da bestimmt die grenzen so.
kannst du mir aufschreiben, wie du es genau gemeint hast?
danke!
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> hm, also die rechnung war richtig, das ist ja schonmal
> gut.
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> aber ich weiss nicht genau, wie ich das aufschreiben soll,
> bei der substitution mit den grenzen, dass es dann
> konmplett korrekt ist.
>
> ich substituiere ja nur das t und nicht das x, deswegen hab
> ich gedacht bleiben da bestimmt die grenzen so.
> kannst du mir aufschreiben, wie du es genau gemeint hast?
>
>
> danke!
hallo, du hattest ja das integral
[mm] \integral_{t=0}^{t=x^2}{sin(\sqrt t)dt}
[/mm]
mit der substitution $ [mm] \sqrt [/mm] t = z [mm] \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt t }dt=dz [/mm] $
das ist dann
[mm] \integral_{t=0}^{t=x^2}{2*sin(z)*z dz} [/mm] wo du halt die alten grenzen mitschleifst und nach dem resubstituieren einsetzt, oder du wandelst sie direkt mit um:
[mm] \integral_{z=0}^{z=|x|}{2*sin(z)*z dz}
[/mm]
d.h. die grenzen werden ja mit $ [mm] \sqrt [/mm] t=z $ mitsubstituiert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
danke, nun ist es klar:)
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