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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mi 07.12.2011 | | Autor: | JoergK |
| Aufgabe | | Bestimme die Fläche unter dem Graphen von f(x)=x² im Intervall [0;5] |
Ich hab das ganze eigentlich immer nach folgendem Muster gelöst:
Wenn [mm] f(x)=x^{c} [/mm] ist im Intervall [a;b], dann mach ich immer:
[mm] (\bruch{a}{n})^{c+1} [/mm] * [mm] (1^{c}+2^{c}+...+n^{c})
[/mm]
= [mm] (\bruch{a}{n})^{c+1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * n(n+1)(2n+1)
und wenns dann zu [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] kommt mach ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}On= (\bruch{a^{c+1}}{6})
[/mm]
Aber da kommt dann immer nur die Hälte des Flächeninhalts raus, denn ich per [mm] \integral_{a}^{b}{x^{2} dx} [/mm] bekomme....
Was mache ich falsch?
Vielen Dank schon mal im Vorraus !
Jörg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo JoergK,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimme die Fläche unter dem Graphen von f(x)=x² im
> Intervall [0;5]
> Ich hab das ganze eigentlich immer nach folgendem Muster
> gelöst:
> Wenn [mm]f(x)=x^{c}[/mm] ist im Intervall [a;b], dann mach ich
> immer:
> [mm](\bruch{a}{n})^{c+1}[/mm] * [mm](1^{c}+2^{c}+...+n^{c})[/mm]
> = [mm](\bruch{a}{n})^{c+1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * n(n+1)(2n+1)
> und wenns dann zu [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] kommt mach
> ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}On= (\bruch{a^{c+1}}{6})[/mm]
>
> Aber da kommt dann immer nur die Hälte des Flächeninhalts
> raus, denn ich per [mm]\integral_{a}^{b}{x^{2} dx}[/mm] bekomme....
> Was mache ich falsch?
>
Nun, da hast Du den Grenzwert nicht ganz richtig berechnet.
> Vielen Dank schon mal im Vorraus !
> Jörg
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 07.12.2011 | | Autor: | JoergK |
Was genau habe ich denn falsch gemacht. Ich habe so das Gefühl, dass es wohl an der Summenformel liegt, denn immer wenn ich für f(x)=x³ oder einen anderen Exponenten in der Ausgangsformel habe, komme ich auf's richtige Ergebnis raus.
Mal ein Beispiel: f(x) ist wieder gleich x² und das Intervall sei [0;5]
Dann sähe meine Rechnung so aus:
On = [mm] (\bruch{5}{n})^{3} [/mm] * [mm] (1^{2}+...+n^{2})
[/mm]
On = [mm] (\bruch{5}{n})^{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * n(n+1)(2n+1)
On = [mm] \bruch{125}{6} [/mm] * [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{n^{3}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] On = 125/6 [mm] \approx [/mm] 20,83
Der richtige Flächeninhalt wäre doch aber bei ca 41,6...wo ist da jetzt mein Denkfehler ?
Gruß Jörg
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Hallo JoergK,
> Was genau habe ich denn falsch gemacht. Ich habe so das
> Gefühl, dass es wohl an der Summenformel liegt, denn immer
> wenn ich für f(x)=x³ oder einen anderen Exponenten in der
> Ausgangsformel habe, komme ich auf's richtige Ergebnis
> raus.
>
> Mal ein Beispiel: f(x) ist wieder gleich x² und das
> Intervall sei [0;5]
> Dann sähe meine Rechnung so aus:
> On = [mm](\bruch{5}{n})^{3}[/mm] * [mm](1^{2}+...+n^{2})[/mm]
>
> On = [mm](\bruch{5}{n})^{3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * n(n+1)(2n+1)
>
> On = [mm]\bruch{125}{6}[/mm] * [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{n^{3}}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] On = 125/6 [mm]\approx[/mm] 20,83
>
Hier hast Du eine "2" vergessen:
[mm]O_{n} = \bruch{125}{6} * \bruch{n(n+1)(2n+1)}{n^{3}}=\bruch{125}{6} * \bruch{n(n+1)(2n+1)}{n*n*n}[/mm]
[mm]=\bruch{125}{6} * \bruch{n}{n}\bruch{n+1}{n}\bruch{2n+1}{n}=\bruch{125}{6}*1*\left(1+\bruch{1}{n}\right)*\left(2+\bruch{1}{n}\right)[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} O_{n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{125}{6}*1*\underbrace{\left(1+\bruch{1}{n}\right)}_{\to 1}*\underbrace{\left(2+\bruch{1}{n}\right)}_{\to 2}=\bruch{125}{6}*1*1*2=\bruch{125}{3}[/mm]
> Der richtige Flächeninhalt wäre doch aber bei ca
> 41,6...wo ist da jetzt mein Denkfehler ?
>
> Gruß Jörg
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Mi 07.12.2011 | | Autor: | JoergK |
Ah...Stimmt. Vielen lieben Dank dir !!
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