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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Di 13.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | 2. Die folgenden Funktionen seinen nur für reelle x betrachtet:
c) Bestimme: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\wurzel{2x} [/mm] - [mm] \wurzel{x+1} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\wurzel{x + \wurzel{x}} [/mm] - [mm] \wurzel{x - \wurzel{x}} [/mm] |
Hallo alle zusammen, ich soll den Grenzwert der funktionen zwar nur bestimmen (also taschenrechner und fertig) würde aber trotzdem ganz gern wissen wie ich die so umformen kann das ich ohne taschenrechner aufs ergebniss komme. ich hab so angefangen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\wurzel{2x} [/mm] - [mm] \wurzel{x+1} [/mm] (erweitern)
= [mm] \bruch{x-1}{\wurzel{2x} + \wurzel{x+1}} [/mm] (jetzt [mm] x^2 [/mm] aus der wurzel holen)
= [mm] \bruch{x-1}{x* \wurzel{\bruch{2}{x}} + x* \wurzel{\bruch{1}{x}+ \bruch{1}{x^2}}} [/mm] (jetzt könnt ich noch x ausklammern hab dann aber x*0 im limes und weiß gar nix)
geht das noch irgendwie besser, sodass beim umformen was rauskommt?
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\wurzel{x + \wurzel{x}} [/mm] - [mm] \wurzel{x - \wurzel{x}}) [/mm] (hier wieder erweitern)
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{x + \wurzel{x} - x + \wurzel{x}}{\wurzel{x + \wurzel{x}} + \wurzel{x - \wurzel{x}}})
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{2*\wurzel{x}}{\wurzel{(\wurzel{x}+\bruch{1}{2})^2-\bruch{1}{4}}+\wurzel{(\wurzel{x}-\bruch{1}{2})^2-\bruch{1}{4}}}) \to [/mm] 1 (glaube ich)
hier komme ich dann auch nicht weiter. hat jemand von euch ne idee was da noch gehen könnte?
mfg Maxi
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Hallo Maxi,
> 2. Die folgenden Funktionen seinen nur für reelle x
> betrachtet:
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> c) Bestimme: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\wurzel{2x}[/mm] -
> [mm]\wurzel{x+1}[/mm] und [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\wurzel{x + \wurzel{x}}[/mm]
> - [mm]\wurzel{x - \wurzel{x}}[/mm]
> Hallo alle zusammen, ich soll
> den Grenzwert der funktionen zwar nur bestimmen (also
> taschenrechner und fertig) würde aber trotzdem ganz gern
> wissen wie ich die so umformen kann das ich ohne
> taschenrechner aufs ergebniss komme. ich hab so
> angefangen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\wurzel{2x}[/mm] - [mm]\wurzel{x+1}[/mm]
> (erweitern)
> = [mm]\bruch{x-1}{\wurzel{2x} + \wurzel{x+1}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (jetzt [mm]x^2[/mm] aus der wurzel holen)
> = [mm]\bruch{x-1}{x* \wurzel{\bruch{2}{x}} + x* \wurzel{\bruch{1}{x}+ \bruch{1}{x^2}}}[/mm]
> (jetzt könnt ich noch x ausklammern hab dann aber x*0 im
> limes und weiß gar nix)
Dann strebt das Ding gegen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$
[/mm]
>
> geht das noch irgendwie besser, sodass beim umformen was
> rauskommt?
Du könntest statt [mm] x^2 [/mm] "nur" x aus der Wurzel holen, also [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] im Nenner ausklammern, dann siehst du, dass der Nenner gegen [mm] \sqrt{2}+1 [/mm] strebt, wohingegen im Zähler [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] bleibt, das gegen [mm] \infty [/mm] abhaut
Es bleibt in jedem Falle Divergenz (bzw. "Konvergenz" gegen [mm] \infty)
[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\wurzel{x + \wurzel{x}}[/mm] - [mm]\wurzel{x - \wurzel{x}})[/mm] (hier wieder erweitern)
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{x + \wurzel{x} - x + \wurzel{x}}{\wurzel{x + \wurzel{x}} + \wurzel{x - \wurzel{x}}})[/mm]
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{2*\wurzel{x}}{\wurzel{(\wurzel{x}+\bruch{1}{2})^2-\bruch{1}{4}}+\wurzel{(\wurzel{x}-\bruch{1}{2})^2-\bruch{1}{4}}}) \to[/mm]
> 1 (glaube ich)
Ich auch!
>
> hier komme ich dann auch nicht weiter. hat jemand von euch
> ne idee was da noch gehen könnte?
Schreibe die Ausdrücke in den Wurzeln nicht als Quadrat, sondern klammere unter den (großen) Wurzeln jeweils x aus, ziehe es dann als [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] raus, dann kannst du wieder schön kürzen und siehst den GW
Bedenke [mm] $\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$
[/mm]
LG
schachuzipus
>
> mfg Maxi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Di 13.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Danke,
ach ja, manchmal ist die Wand im kopf doch noch das größte hinderniss. wenn mein kopf sich dagegen sperrt das ne funktion auch divergieren kann dann will er das auch einfach nich ausrechnen obwohl es schon fast dasteht -.-
naja nu hat auf jeden fall klick gemacht.
mfg Maxi
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