lim sup von funktionenfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:43 Fr 04.04.2008 | | Autor: | mfat58 |
hallo, ich habe eine frage zu dem limes superior (bzw. inferior) von funktionenfolgen. leider kann ich mir darunter überhaupt nichts vorstellen, deshalb würde ich mich sehr freuen wenn mir irgendjemand ein beispiel nennen könnte, welches den ausdruck verdeutlichen würde.
vielen dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Edit: Sorry, ich dachte, es geht um den [mm] $\limsup$ [/mm] einer Folge, ich hatte überlesen, dass Du von Funktionenfolgen sprichst. Die Antwort passt also nicht wirklich zu Deiner Frage. Aber unten beim Edit 2 klärt sich Deine Frage vll. doch?!
Hallo,
> hallo, ich habe eine frage zu dem limes superior (bzw.
> inferior) von funktionenfolgen. leider kann ich mir
> darunter überhaupt nichts vorstellen, deshalb würde ich
> mich sehr freuen wenn mir irgendjemand ein beispiel nennen
> könnte, welches den ausdruck verdeutlichen würde.
welche Definition liegt Euch den zugrunde?
Z.B. ist es möglich, wie hier in Definition 5.18:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Man kann aber, weil es eine Charakterisierung ist, es genausogut mit der Aussage aus Satz 5.20 definieren.
Am schönsten finde ich die Aussage, die sich aus obigem ergibt.
Dazu vorneweg eine Definition:
Eine Zahl $a [mm] \in \IR$ [/mm] heißt Häufungspunkt für eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN} \in \IR^{\IN}$, [/mm] wenn es eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gibt, die gegen $a$ konvergiert, also
[mm] $\lim_{k \to \infty}a_{n_k}=a$.
[/mm]
Jetzt kann man sagen:
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine nach oben beschränkte Folge in [mm] $\IR$, [/mm] so existiert [mm] $\limsup_{n \to \infty}a_n$. [/mm] Und genau dann ist [mm] $\overline{a}=\limsup_{n \to \infty}a_n$, [/mm] wenn [mm] $\overline{a}$ [/mm] der größte Häufungspunkt der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist.
Wobei man sagt:
[mm] $\overline{a}$ [/mm] ist genau dann der größte Häufungspunkt von [mm] $(a_n)_n$, [/mm] wenn [mm] $\overline{a}$ [/mm] Häufungspunkt von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist und für jeden anderen Häufungspunkt $b$ der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] folgt, dass $b [mm] \le \overline{a}$.
[/mm]
Analog ist [mm] $\liminf_{n \to \infty}a_n$ [/mm] der kleinste Häufungspunkt einer nach unten beschränkten Folge.
(Wichtig dabei ist, dass man sich auch folgendes klarmacht:
In der Menge der Häufungspunkte einer nach oben beschränkten Folge existiert ein größtes Element; analog:
In der Menge der Häufungspunkte einer nach unten beschränkten Folge existiert ein kleinstes Element.)
Machen wir dazu mal ein Beispiel:
Wir betrachten die Folge
[mm] $a_n:=\begin{cases} \frac{1}{n}, & \mbox{falls } n-1 \mbox{ durch } 4 \mbox{ teilbar} \\ 1-\frac{1}{n}, & \mbox{falls } n \mbox{ durch } 4 \mbox{ teilbar} \\ -\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, & \mbox{falls } n+1 \mbox{ durch } 4 \mbox{ teilbar}\\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}, & \mbox{falls } n+2 \mbox{ durch } 4 \mbox{ teilbar} \end{cases}$
[/mm]
für $n [mm] \in \IN$, [/mm] wobei [mm] $\IN=\IN\setminus\{0\}$ [/mm] (d.h. bei mir gilt $0 [mm] \notin \IN$).
[/mm]
(Beachte für $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
1.) $n-1$ durch $4$ teilbar [mm] $\gdw$ [/mm] $n [mm] \in \{k*4+1; k \in \IN_0\}=\{1,5,9,13,17,...\}$;
[/mm]
2.) $n$ durch $4$ teilbar [mm] $\gdw$ [/mm] $n [mm] \in \{k*4; k \in \IN\}=\{4,8,12,16,20,...\}$
[/mm]
3.) $n+1$ durch $4$ teilbar [mm] $\gdw$ [/mm] $n [mm] \in \{k*4-1; k \in \IN\}=\{3,7,11,15,19,...\}$
[/mm]
4.) $n+2$ durch $4$ teilbar [mm] $\gdw$ [/mm] $n [mm] \in \{k*4-2; k \in \IN\}=\{2,6,10,14,18,...\}$ [/mm]
Insbesondere: Diese Mengen sind disjunkt und wenn man sie vereinigt, kommt [mm] $\IN$ [/mm] heraus. Also [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist wohldefiniert.)
Ich behaupte nun folgendes:
Die Menge aller Häufungspunkte der obigen Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] (nach meiner oben zugrundeliegenden Definition) ist gerade
[mm] $\{0,1,-e,e\}$ [/mm]
und zudem ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] durch $-e$ nach unten und durch [mm] $a_2=\left(\frac{3}{2}\right)^3$ [/mm] nach oben beschränkt.
(Dabei beachte:
[mm] $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Folge in [mm] $[0,\infty)$, [/mm] die monoton wachsend gegen $e$ ist und
[mm] $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Folge in [mm] $[0,\infty)$, [/mm] die monoton fallend gegen $e$ ist.)
Mit $e [mm] \approx [/mm] 2,7$:
Was ist demnach [mm] $\limsup_{n \to \infty}a_n$?
[/mm]
(Also: Was ist der größte Häufungspunkt?)
Was ist demnach [mm] $\liminf_{n \to \infty}a_n$?
[/mm]
(Also: Was ist der kleinste Häufungspunkt?)
Edit 2:
Lies bitte noch die Mitteilung unten. Ansonsten:
Wir setzen mal für $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $f_n(x):=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n+1}$ [/mm] für gerade $n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $f_n(x):=0$ [/mm] für ungerade $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Ich behaupte jetzt einfach mal, dass [mm] $\limsup_{n \to \infty}f_n$ [/mm] gerade die Exponentialfunktion [mm] $\exp(.)$ [/mm] (auf [mm] $\IR$) [/mm] ist.
Wenn Du das beweisen willst:
Für festes $x$ musst Du dann wissen, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n+1}$ [/mm] gegen [mm] $e^x=\exp(x)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] strebt und ansonsten nur die oben erklärten Dinge für den [mm] $\limsup$ [/mm] einer Folge verstanden haben. Dann ist das banal.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
oh, sorry, ich hatte oben gedacht, es ginge um den [mm] $\limsup$ [/mm] einer Folge. Du meintest aber den [mm] $\limsup$ [/mm] einer Funktionenfolge. Dann ist es vielleicht doch sinnvoll, wenn ich die Frage nur auf teilweise beantwortet stelle und Du uns vll. dann doch Eure Definition des [mm] $\limsup$ [/mm] einer Funktionenfolge zugrundelegst?!
Und einer weitere Frage:
Meinst Du wirklich den [mm] $\limsup$ [/mm] einer Funktionenfolge? Geht es nicht vll. um die glm. Konvergenz von Funktionenfolgen, also um solch einen Term:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \sup\{|f_n(x)-f(x)|: x \in D\}$
[/mm]
Denn ansonsten ist der [mm] $\limsup$ [/mm] einer Funktionenfolge [mm] $f_n$ [/mm] als "der punktweise [mm] $\limsup$" [/mm] der Zahlenfolge [mm] $(f_n(x))_n$ [/mm] für festes $x$ definiert. Sowas braucht man z.B. beim Lemma von Fatou:
http://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Fatou
Aber das sollte man eigentlich dann auch leicht verstehen, wenn man weiß, was der [mm] $\limsup$ [/mm] einer Zahlenfolge ist...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Do 10.04.2008 | | Autor: | mfat58 |
erstmal vielen dank für die antwort! hatte nicht damit gerechnet, dass das so schnell geht!
die antwort hat mir sehr geholfen.
beim beispiel mit der e funktion hätte ich noch eine frage: ist dort lim sup = lim inf und damit = lim fn? und ist das oft der fall, dass der lim sup einer funktionenfolge der selbe ist wie einfach nur der limes?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 10.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> erstmal vielen dank für die antwort! hatte nicht damit
> gerechnet, dass das so schnell geht!
> die antwort hat mir sehr geholfen.
> beim beispiel mit der e funktion hätte ich noch eine frage:
> ist dort lim sup = lim inf und damit = lim fn?
nein. Es kann aber sein, dass Du das meinst, weil ich die Funktion nicht schön notiert habe:
Für jedes $x \in\IR$ sei definiert
$f_n(x):=\begin{cases} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n, & \mbox{für } n \in \IN \mbox{ und } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}$
Wenn ich nun ein $x_0 \in \IR$ festhalte, so hat die Folge $(f_n(x_0))_{n \in \IN}$ genau zwei Häufungspunkte, nämlich
$0$ und $e^{x_0}$
Hier wäre also $\limsup_{n \to \infty}f_n(x_0)=e^{x_0}$ und $\liminf_{n \to \infty}f_n(x_0)=0$, also
$\limsup_{n \to \infty}f_n=\exp(.)$ (die auf $\IR$ definierte!) und
$\liminf_{n \to \infty}f_n=O$ (das $O$ rechterhand stehe für die $0$-Funktion auf $\IR$, also $O:\IR \to \IR$ mit $O(x)=0$ für alle $x \in \IR$).
> und ist
> das oft der fall, dass der lim sup einer funktionenfolge
> der selbe ist wie einfach nur der limes?
Das stimmt auch so schon bei den "normalen" Folgen nicht immer. Mit "oft" ist die Frage, was man unter "oft" versteht. Wenn der Limes (ich schreibe einfach nur $\lim$ dazu) existiert, dann ist
$\lim=\limsup=\liminf$. Wenn $\limsup$ existiert, dann kann es sein, dass $\liminf$ nicht existiert oder dass $\liminf$ zwar existiert, aber $\liminf < \limsup$ ist und damit auch der $\lim$ nicht existiert.
Analoges gilt, falls $\liminf$ existiert.
Es gilt der Satz:
$\lim$ existiert genau dann, wenn $\liminf$ und $\limsup$ beide existieren und zudem gleich sind.
Bei einer Funktionenfolge (ich schreibe auch hier mal $\lim$ anstatt $\lim_{n \to \infty}$ etc., d.h. ich spare mir das $n \to \infty$):
$\lim f_n$ existiert genau dann, wenn $\liminf f_n$ und $\limsup f_n$ beide mit Gleichheit existieren.
Wenn ich mir nun z.B. mal die auf $[0,1]$ definierten
$f_n(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{ falls } x=1 \mbox{ und } n \mbox{ gerade } \\ \frac{1}{2}, & \mbox{ falls } x=1 \mbox{ und } n \mbox{ ungerade\\ 0, & \mbox{ falls } x \in [0,1)} \end{cases}$
angucke:
$\liminf f_n=f$ mit
$f(x):=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{ falls } x=1 \\ 0, & \mbox{ falls } x \in [0,1)} \end{cases}$
und
$\limsup f_n=g$ mit
$g(x):=\begin{cases}1, & \mbox{ falls } x=1 \\ 0, & \mbox{ falls } x \in [0,1)} \end{cases}$
Wegen $f(1)\not=g(1)$ ist also $f \not=g$ und daher existiert $\lim f_n$ nicht.
(Die Aussage, dass hier " $f=\liminf f_n < g=\limsup f_n$ " ist, muss so interpretiert werden:
Für alle $x \in [0,1]$ gilt $f(x) \le g(x)$ und es gibt (mindestens) eine Stelle $x_0 \in [0,1]$ so, dass $f(x_0) < g(x_0$.
In diesem Sinne könnte man auch bei Funktionen eine Relation $ < $ definieren:
Wir sagen für reellwertige Funktionen $f,g$ mit Definitionsbereich $D:=D_f=D_g$:
$f$ ist echt kleiner als $g$ (Symbol: $f < g$) :
$\gdw$ Für alle $x \in D$ gilt $f(x) \le g(x)$ und es existiert ein $x_0 \in D$ so, dass $f(x_0) < g(x_0)$.)
Wenn Du nun aber einfach mal die
$f_n(x):=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$
auf $\IR$ definiert, betrachtest, dann gilt in der Tat:
$\liminf f_n=\limsup f_n=\exp(.)$, also $\lim f_n=\liminf f_n=\limsup f_n=\exp(.)$
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Do 10.04.2008 | | Autor: | mfat58 |
vielen vielen dank. deine erläuterung war mir eine große hilfe.
der unterschied zum lim sup/inf einer folge schien mir zuerst schlüssiger, obwohl das bei den funktionenfolgen ja eigenlich auf das selbe hinausläuft.
gruß matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Mo 05.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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