lim -> Unendlich ? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Do 05.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
Hallo.
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n(n+2)}{n+1}-\bruch{n^3}{n^2+1})
[/mm]
Die Lösung soll mal 1 ergeben. Ich komme aber immer auf 2.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n(n+2)}{n+1}-\bruch{n(n^2)}{n(n+1)})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n(n+2)}{n+1}-\bruch{n^2}{n+1})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n(n+2)-n^2}{n+1}
[/mm]
Hier fasst meine Musterlösung die Sache immer anders zusammen. Die hat im Zähler da:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n(n+2)+n^2}{n+1}
[/mm]
was ich aber nicht nachvollziehen kann und deshalb mal mit meiner Rechnung weiter mache.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+2n-n^2}{n+1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n}{n+1}
[/mm]
Eigentlich hört mein Lösungsansatz hier auf.
Ich habe mir überlegt, das man das ja noch so schreiben könnte
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*2}{n*(1)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{1}
[/mm]
Ab wo mache ich was falsch?
Kann/muss man das mit l´hospital machen?
Vielen Dank für die Mühe.
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Hallöchen.
Wenn ich das richtig sehe läuft da gleich in der 2. Zeile was schief.
Schau dir mal den Nenner des zweiten Bruchs an.
Ansonsten hab ich deine Musterlösungszwichenschritt mal genommen und bin aber auf unendlich gekommen. l´hospital war nicht nötig.
Also schau bitte nochmal, ob da noch mehr unbeabsichtigte Fehler drin sind.
(L´hospital bei Typ: "0/0")
Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Do 05.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Bringe alles auf einen Bruch (aber richtig rechnen).
Dann hast Du im Zähler [mm] n^4 [/mm] + ................ und im Nenner [mm] n^3 [/mm] + .........,
Die Folge strebt also gegen unendlich
FRED
Nachtrag: meine Antwort ist fehlerhaft
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Do 05.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
Das klappt bei mir aber leider nicht. Ich habe:
[mm] \bruch{n(n+2)}{n+1}-\bruch{n^3}{n^2+1}
[/mm]
Daraus mache ich
[mm] \bruch{n^2+2n}{n+1}-\bruch{n(n^2)}{n(n+1)}
[/mm]
Ich kürze hinten ein n weg sodass
[mm] \bruch{n^2+2n}{n+1}-\bruch{n^2}{n+1}
[/mm]
Die zusammengeschoben sind doch
[mm] \bruch{n^2+2n-n^2}{n+1}
[/mm]
wo mache ich da was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Do 05.06.2008 | | Autor: | fred97 |
pleaselook hat es doch schon gesagt:
Fehler in der 2. Zeile:
n²+1 ist nicht dasselbe wie n(n+1)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Do 05.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
Ach Mist!!!
Wenn man einmal was am rechnen ist, dann will man auch nichts anderes mehr sehen.
Hatte meinen Fehler nicht gesehen. Klar das bein Vorschlag nicht das gleiche ist.
Allerdings komme ich immernoch nicht auf [mm] \infty [/mm] als Lösung.
In meiner Lösung und auf so einer "Grenzwertberechnungsseite" im Inet kommt immer wieder 1 raus.
Hier auch mal die Lösung wie sie mir vorgegeben ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 05.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Meine obige Antwort war fehlerhaft.
Schau mal was schachuzipus unten geschrieben hat.
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:38 Do 05.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
Vielleicht könntest du das mal zu Ende zusammenfassen.
Ich komme schon wieder nicht auf das Ergebnis.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n(n+2)}{n+1}-\bruch{n^3}{n^2+1})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n(n+2)(n^2+1)}{(n+1)(n^2+1)}-\bruch{(n^3)(n+1)}{(n^2+1)(n+1)})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(n^2+2n)(n^2+1)}{(n+1)(n^2+1)}-\bruch{n^4+n^3}{(n^2+1)(n+1)})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^4+n^2+2n^3+2n}{(n+1)(n^2+1)}-\bruch{n^4+n^3}{(n^2+1)(n+1)})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^4+n^2+2n^3+2n-n^4+n^3}{(n+1)(n^2+1)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n^3+n^2+2n}{(n+1)(n^2+1)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n^3+n^2+2n}{n^3+n^2+n+1}
[/mm]
Leider ist das auch nicht 1.
ICh wäre dankbar wenn man mir den richtigen Rechenweg mal aufschreiben könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Do 05.06.2008 | | Autor: | fred97 |
In der dritten Zeile von unten muß am Ende des Zählers [mm] -n^3 [/mm] stehen und nicht [mm] n^3.
[/mm]
Dann kommt auch 1 hheraus.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Do 05.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
Vielen Dank.
Da schlägt man sich mit so einem Krempel rum und verantwortlich für die Fehler sind Vorzeichenregeln aus der 3.KLasse oder so.
Danke für die Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 05.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n(n+2)}{n+1}-\bruch{n^3}{n^2+1}) [/mm] $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n(n+2)(n^2+1)}{(n+1)(n^2+1)}-\bruch{(n^3)(n+1)}{(n^2+1)(n+1)}) [/mm] $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(n^2+2n)(n^2+1)}{(n+1)(n^2+1)}-\bruch{n^4+n^3}{(n^2+1)(n+1)}) [/mm] $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^4+n^2+2n^3+2n}{(n+1)(n^2+1)}-\bruch{n^4+n^3}{(n^2+1)(n+1)}) [/mm] $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^4+n^2+2n^3+2n-n^4-n^3}{(n+1)(n^2+1)} [/mm] $
soweit war ich gekommen.
Ich habe das jetzt nochmal zusammen gefasst und zwar wie folgt_
[mm] \bruch{n^3+n^2+2n}{n^3+n^2+n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{2n}{n+1}
[/mm]
Wenn ich da jetzt Zahlen einsetzen würde, 1;2;5;1000 was auch immer, dann würde die Sache gegen 2 laufen.
Warum stimmt das aber nicht?
Das richtige Ergebnis ist gegen 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Do 05.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Dividiere in
$ [mm] \bruch{n^3+n^2+2n}{n^3+n^2+n+1} [/mm] $
Zähler und Nenner durch [mm] n^3 [/mm] und lasse dann n gegen unendlich gehen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Do 05.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
Also ich habe das auch versucht, aber das hat ebenfalls nicht hingehauen.
Der Mitarbeiter meines Profs. hat mir zwischenzeitlich auch den Hinweis gegeben, dass wenn ich nur noch
$ [mm] \bruch{n^3+n^2+2n}{n^3+n^2+n+1} [/mm] $
habe, ja eigentlich nur die höchste Potenz ausschlaggebend ist. Also kann man alles was hinter [mm] n^3 [/mm] ist auch weglassen. Da sowohl im Zähler als auch im Nenner [mm] n^3 [/mm] steht ist das Ergebnis 1.
p.s. Sein Kommentar wie der Prof das in 3 Schritten (siehe Datei) gemacht hat ist, der hat Übung dadrin und hat das alles im Kopf gemacht. Nach vielen Dank :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Do 05.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo mrkwg,
> [mm]\bruch{n^3+n^2+2n}{n^3+n^2+n+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2n}{n+1}[/mm]
Schau Dir das nochmal genau an und denke dabei über korrektes Kürzen nach... 
Im übrigen folgst Du dann am besten Freds Hinweis.
Schöne Grüße
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 05.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
Ja... da mit dem Kürzen haut nicht hin. Ich glaube da war was mit Summen und Dummen...
Seinem Hinweis bin ich gefolgt. Mittlerweile habe ich 4Blätter nur mit dem hin- und herrechnen dieser Aufgabe verbraucht und so wirklich am Ziel bin ich da ja immernoch nicht gewesen. Habe Zähler und Nenner durch [mm] n^3 [/mm] geteilt, aber das hat mir leider nicht weitergeholfen.
Habe mir das ja auch aufgeschrieben und weitergerechnet, aber dann kommt bei mir immer wieder 2 raus.
Vielleicht könntest du mir die Möglichkeit ans Ziel zu kommen darstellen?!
Die Lösung vom WiMi meines Profs. scheint ja auch zu klappen. Obgleich ich auch an dem anderen Lösungsweg interessiert bin!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 05.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo mrkwg,
Wenn Du in
$ [mm] \bruch{n^3+n^2+2n}{n^3+n^2+n+1} [/mm] $
Zähler und Nenner durch [mm] $n^3$ [/mm] teilst, erhältst Du
$ [mm] \bruch{\frac{n^3}{n^3}+\frac{n^2}{n^3}+\frac{2n}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}+\frac{n^2}{n^3}+\frac{n}{n^3}+\frac{1}{n^3}} [/mm] $
Wenn Du nun den Grenzwert bildest (vielleicht zuvor noch die kleinen Brüchelchen kürzt), erhältst Du nicht nur das korrekte Ergebnis, sondern solltest auch sehen, warum nur die vordersten Summanden relevant sind.
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Do 05.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
Ja so hatte ich das auch.
Also im Grunde genommen ist es ja klar, dass die Variable mit der höchsten Potenz auch schon am weitesten "an unendlich dran ist". Wenn es nun 2 gleihce Werte gibt, die auch die gleiche Potenz haben, dann kommt dadurch 1 raus. Wahrscheinlich stehen jedem Mathematiker nun die Haare zu berge aufgrund meiner Formulierungen, aber so ist das für mich am verständlichsten.
Ich bedanke mich auf jeden Fall für die Hilfe.
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Hallo Fred,
> Bringe alles auf einen Bruch (aber richtig rechnen).
> Dann hast Du im Zähler [mm]n^4[/mm] + ................ und im
> Nenner [mm]n^3[/mm] + .........,
> Die Folge strebt also gegen unendlich ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn du - wie von dir selbst gefordert - richtig rechnest, steht nach dem Erweitern im Zähler [mm] $n^4+n^3+...-n^4=n^3+....$
[/mm]
Ebenso im Nenner [mm] $n^3+..$
[/mm]
Also GW=1
>
> FRED
Gruß
schachuzipus
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