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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:09 Fr 07.05.2010 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | Sei Großomega (W) die Menge der Natürlichen Zahlen. Man wähle zufällig und gleichverteilt eine Zahl Kleinomega (w) aus den ersten n natürlichen Zahlen. Sei [mm] X_n [/mm] (w) die größte in w enthaltene Zweierpotenz, also bspw. 6 bei w=192, 0 bei 193 und 1 bei 194.
a) man bestimme [mm] P(X_n=k)
[/mm]
b) zeige, dass bei festem [mm] k_0 [/mm] die in a) bestimmte Wahrscheinlichkeit mit n gegen unendlich gegen einen Wert p(k) konvergiert.
c) zeige, dass die in b) bestimmte Funktion p eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist. Können Sie die zugehörige Verteilung als Spezialfall einer der in der Vorlesung eingeführten Verteilungsfamilien identifizieren? |
Guten Morgen,
ich würde gern die Aufgaben bearbeiten, verstehe aber nicht, wie dieses Experiment zu verstehen ist, sprich die Aufgabenstellung zu interpretieren ist.
wie kommt bspw. die 6 zustande, wenn ich w= 192 wähle? soll dass die Verteilung sein? und wieso ist das dann bei 193=0 bzw. bei 194=1?
ich komme bei der in w=192 enthaltenen größten Zweierpotenz auf [mm] 2^7, [/mm] dass sind dann 128<192.
könnte mir das bitte jemand erklären?
PS. habe die frage nirgends anders gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Fr 07.05.2010 | | Autor: | dorix |
Hat niemand einen tip für mich:-(
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Hallo dorix,
es scheint als sei mit [mm] $X_n(\omega)$ [/mm] der $2$-Exponent [mm] $\nu_2(\omega)$ [/mm] gemeint:
[mm] $2^{6}\cdot3 [/mm] = 192 [mm] \Rightarrow X_n(192)= [/mm] 6$, $193 [mm] \text{ ist prim }\Rightarrow X_n(193)= [/mm] 0$, [mm] $2^1\cdot97= [/mm] 194 [mm] \Rightarrow X_n(194) [/mm] = 1$.
Gruß,
mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Mo 10.05.2010 | | Autor: | dorix |
hallo,
also danke ersteinmal,
aber nun versteh ich nicht, wie ich damit und mit dem Wissen, dass es sich um ein Laplace-experiment und einer gleichverteilten Zufallsvariable handelt,
dazu die wahrscheinlichkeitsfunktion bestimmen soll.
Kann mir vielleicht nochmal jemand sagen, wie ich die Wahrscheinlchkeitsfunktion aufstellen kann?
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Hallo dorix,
gesucht ist [mm] $P(X_n [/mm] = k) = [mm] \frac{\#\{\omega \in \{1,\ldots,n\}: X_n(\omega) = k\}}{n}$.
[/mm]
Beispiel für $n = 3$:
[mm] $P(X_3 [/mm] = 0) = [mm] \frac{\#\{1,3\}}{3} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}$
[/mm]
[mm] $P(X_3 [/mm] = 1) = [mm] \frac{\#\{2\}}{3} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $P(X_3 [/mm] = k) = [mm] \frac{\#\{\}}{3} [/mm] = 0$ für $k [mm] \geq [/mm] 2$
$n$ kann dargestellt werden als $n = 2^lm+r$ mit $0 [mm] \leq [/mm] r < 2$ und $m$ ungerade.
Wir suchen die Anzahl der Zahlen aus [mm] $\{1,\ldots,n\}$, [/mm] die die Form $2^ks$ mit $s$ ungerade haben.
Damit haben wir folgende Ungleichungen:
$1 [mm] \leq [/mm] 2^ks [mm] \leq [/mm] 2^lm+r$
Also, wieviele Zahlen gibt es von dieser Form?
Danach sieht man leicht den Grenzwert $p(k) := [mm] \lim P(X_n [/mm] = k)$ für festes $k$ und $n [mm] \rightarrow \infty$.
[/mm]
Es sollte dann [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}p(k)=1$ [/mm] gelten.
Gruß mathfunnel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:24 Di 11.05.2010 | | Autor: | dorix |
hallo,
danke, danke, das hat mir schon geholfen. da ich ja die zahlen, die komplett in 2er potenzen zerlegbar sind schreiben kann als [mm] 2^n^+^1 [/mm] - 1 muss ich diese anzahl nur noch von der summe der natürlichen zahlen n(n-1)/2 abziehen? dann hab ich die zahlen der form [mm] 2^k*s, [/mm] oder?
ist dann der nenner im laplace-experiment einfach die summe der natürlichen zahlen minus die vollständig in 2er potenzen zerlegbaren zahlen = anzahl der [mm] 2^k*s?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Di 11.05.2010 | | Autor: | dorix |
nee, das war quatsch...hab ich gemerkt.
ich komme einfach auf keine gescheite möglichkeit für das zählen. wie kann ich denn von allen natürlichen zahlen die zahlen der form 1,2,4,8,16,32...abziehen???
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Hallo dorix,
betrachte für ein festes $k$ die Ungleichungen
$ 1 [mm] \leq [/mm] 2^ks [mm] \leq [/mm] 2^lm+r $
für die speziellen Fälle $l > k$, $m=1$, $r=0$, teile durch [mm] $2^k$ [/mm] und überlege wieviele ungerade $s$ es gibt.
Gruß mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 Mi 12.05.2010 | | Autor: | dorix |
hab s schon,
vielen lieben dank für die hilfe!
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