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l'Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Do 12.04.2007
Autor: Engel-auf-Wolke

Aufgabe
Berechne mit Hilfe l'Hospital folgende Aufgaben. Überprüfe vorher ob l´Hospital angewendet werden kann.

(a) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin x}{x} [/mm]
(b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x^{3}+2x^{2}}{x^{2}-4} [/mm]
(c) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{x} [/mm]
(d) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{2x}{x-1} [/mm]
(e) [mm] \limes_{x\rightarrow 3} \bruch{x^{2}-9}{x-3} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hallo!

Also hier meine Ergebinsse!

(a) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin x}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{cos x}{1} [/mm] = 1

(b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x^{3}+2x^{2}}{x^{2}-4} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{6x^{2}+4x}{2x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{12x+4}{2} [/mm] = [mm] \infty [/mm]

(c) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{1} [/mm] = 2

(d) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{2x}{x-1} [/mm]  Ich würd sagen, dass ich hier l'Hospital nicht anwenden kann. Beim Ableiten bleibt weder im Nenner noch im Zähler ein x übrig.
Frage: Wie überprüfe ich denn vorher, ob ich l'Hospital anwenden kann?

(e) [mm] \limes_{x\rightarrow 3} \bruch{x^{2}-9}{x-3} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 3} \bruch{2x}{1} [/mm] = 6
Frage: Hier bin ich mir nicht sicher. Ich dachte bei l'Hospital muss unter dem limes entweder 0 oder [mm] \infty [/mm] stehen.

lg


        
Bezug
l'Hospital: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Do 12.04.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Engel-auf-Wolke!



> (a) [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin x}{x}[/mm] =  [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{cos x}{1}[/mm] = 1

[ok]

  
> (b) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2x^{3}+2x^{2}}{x^{2}-4}[/mm]  = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{6x^{2}+4x}{2x}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{12x+4}{2}[/mm] = [mm]\infty[/mm]

[ok]

  
> (c) [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{x}[/mm] =  [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{1}[/mm] = 2

Ergebnis ist richtig. Beim 2. Term hast Du Dich wohl nur vertippt. Es muss heißen:

$... \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x} \ \red{+} \ e^{-x}}{1} [/mm] \ = \ ...$

  
> (d) [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{2x}{x-1}[/mm]  Ich würd
> sagen, dass ich hier l´Hospital nicht anwenden kann. Beim
> Ableiten bleibt weder im Nenner noch im Zähler ein x  übrig.

Du hast Recht: man darf hier nicht de l'Hospital anwenden. Allerdings ist die Begründung falsch.

de l'Hospital darf nämlich nur für unbestimmte Ausdrücke wie [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\pm\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] angewandt werden, was ja hier nicht der Fall ist.


> Frage: Wie überprüfe ich denn vorher, ob ich l´Hospital
> anwenden kann?

Siehe Satz darüber ;-) .

  
> (e) [mm]\limes_{x\rightarrow 3} \bruch{x^{2}-9}{x-3}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow 3} \bruch{2x}{1}[/mm] = 6
> Frage: Hier bin ich mir nicht sicher. Ich dachte bei
> l´Hospital muss unter dem limes entweder 0 oder [mm]\infty[/mm] stehen.

Nein, das ist egal. Man darf de l'Hospital für alle erdenklichen Grenzwerte [mm] $x\rightarrow [/mm] \ [mm] \red{c}$ [/mm] anwenden, wenn nur die o.g. Bedingung erfüllt ist.

Aber hier könnte man auch ohne de l'Hospital auskommen, wenn man im Zähler die 3. binomische Formel anwendet und anschließend durch $(x-3)_$ kürzt.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
l'Hospital: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Do 12.04.2007
Autor: Engel-auf-Wolke

Prima!
Danke!

Hottentlich kommt so eine Aufgabe in der Klausur dran. *g*

lg
Bezug
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