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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 27.12.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Bestimme, ob Konvergenz oder Divergenz vorliegt und berechne gegebenenfalls den Grenzwert!
a) [mm] a_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n^2+k}
[/mm]
b) [mm] a_n= [/mm] (1-1/2)(1-1/3)......(1-1/n)
[mm] c)\summe(\wurzel{1+n^2}-n)
[/mm]
[mm] d)\summe n^2e^{-n}
[/mm]
[mm] e)\summe \bruch{1}{x^n-y^n}, [/mm] x>y>0 |
oben sind mal die aufgaben aus einem übungsteil, bei denen ich überhaupt keinen durchblick habe:
a)hier wollte ich erst das majorantenkrit. nehmen [mm] (\bruch{1}{n^2}) [/mm] aber das bringt ja nix, weil der laufindex ja hier k ist, oder?
b) hab ich leider auch keinen ansatz, außer, dass ich weiß, dass die harmonische folge divergiert
c),d) welches kriterium soll den hier passen?
e) das sieht so nach geom.reihe aus, aber eben auch wieder nicht--kann man da evtl was abschätzen?
danke schon mal!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Sa 27.12.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimme, ob Konvergenz oder Divergenz vorliegt und
> berechne gegebenenfalls den Grenzwert!
> a) [mm]a_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n^2+k}[/mm]
> b) [mm]a_n=[/mm] (1-1/2)(1-1/3)......(1-1/n)
> [mm]c)\summe(\wurzel{1+n^2}-n)[/mm]
> [mm]d)\summe n^2e^{-n}[/mm]
> [mm]e)\summe \bruch{1}{x^n-y^n},[/mm] x>y>0
> oben sind mal die aufgaben aus einem übungsteil, bei denen
> ich überhaupt keinen durchblick habe:
> a)hier wollte ich erst das majorantenkrit. nehmen
> [mm](\bruch{1}{n^2})[/mm] aber das bringt ja nix, weil der laufindex
> ja hier k ist, oder?
Hallo, es ist [mm] \bruch{1}{n^2+k}<\bruch{1}{n^2} [/mm] und damit auch
[mm]a_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n^2+k}[/mm]< [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n^2}=n*\bruch{1}{n^2}=\bruch{1}{n}[/mm] (für n gegen unendlich wird das Null).
> b) hab ich leider auch keinen ansatz, außer, dass ich
> weiß, dass die harmonische folge divergiert
Diese Aufgabe löse ich immer in meinen sechsten Klassen. Rechne die einzelnen Faktoren (1-1/2), (1-1/3), (1-1/4) usw. als Brüche aus und schreibe die Multipklikationsaufgabe unter Verwendung der erhaltenen Brücke. Mit Ausnahme des ersten Zählers und des letzten Nenners kürzt sich alles.
> c),d) welches kriterium soll den hier passen?
Bei c) solltest du den gegebenen Term mit [mm] (\wurzel{1+n^2}+n) [/mm] erweitern und dann auf den Zähler eine binomische Formel anwenden, dann sieht alles viel klarer aus.
> e) das sieht so nach geom.reihe aus, aber eben auch wieder
> nicht--kann man da evtl was abschätzen?
Ich weiß nicht, ob es hilft, aber es ist
[mm] x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}*y^1+x^{n-3}*y^2+...+x^2*y^{n-3}+x*y^{n-2}+y^{n-1})
[/mm]
Damit liegt
[mm] (x^{n-1}+x^{n-2}*y^1+x^{n-3}*y^2+...+x^2*y^{n-3}+x*y^{n-2}+y^{n-1}) [/mm] zwischen [mm] n*x^{n-1} [/mm] und [mm] n*y^{n-1}
[/mm]
Bei einer Abschätzung musst du aber vorsichtig sein. Für x>y>1 gilt [mm] x^n>y^n, [/mm] aber für 1>x>y>0 gilt [mm] x^n
Gruß Abakus
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> danke schon mal!!
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