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| Aufgabe | Auf der Kante AD soll ein Punkt so markiert werden, dass sein Abstand zu B und zu D gleich groß sind. Berechnen Sie die Koordinaten von P.
geg:
A (4/-1/0)
B (2/3/-4)
C (-6/3/0)
D (-4/-1/4)
S (4/9/0) |
Hallo erstmal,
also ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und komme irgendwie nicht weiter.
Wir wissen das P auf [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] liegen muss, daher hab ich einfach mal die Parameterform für diese Gerade aufgestellt:
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] + [mm] r*\vektor{-8\\ 0\\4}
[/mm]
außerdem gilt:
[mm] |\overline{PB}| [/mm] = [mm] |\overline{PD}|
[/mm]
nach der normalen Abstandsformel und Umformungen erhalte ich daraus:
4x-8y+16z-4 =0
So, nun besteht mein Problem darin, dass ich nicht weiß wie ich weiter verfahren soll. Könntet ihr mir evtl. einen Tipp geben.
danke
liebe Grüße
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> Auf der Kante AD soll ein Punkt so markiert werden, dass
> sein Abstand zu B und zu D gleich groß sind. Berechnen Sie
> die Koordinaten von P.
> geg:
> A (4/-1/0)
> B (2/3/-4)
> C (-6/3/0)
> D (-4/-1/4)
> S (4/9/0)
> Hallo erstmal,
>
> also ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und komme
> irgendwie nicht weiter.
>
> Wir wissen das P auf [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] liegen muss, daher
> hab ich einfach mal die Parameterform für diese Gerade
> aufgestellt:
>
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -1\\0}[/mm] + [mm]r*\vektor{-8\\ 0\\4}[/mm]
Hallo,
das ist schonmal eine gute Idee.
>
> außerdem gilt:
>
> [mm]|\overline{PB}|[/mm] = [mm]|\overline{PD}|[/mm]
> nach der normalen Abstandsformel und Umformungen
Diese Rechnungen wären durchaus interessant, ich weiß nicht genau, was sich dahinter verbirgt.
Poste das doch mal.
Mich irritiert Dein x, y, z.
Ich hätte nur eine Variable, nämlich das r, welches zu dem gesuchten Punkt gehört.
Gruß v. Angela
erhalte
> ich daraus:
>
> 4x-8y+16z-4 =0
>
> So, nun besteht mein Problem darin, dass ich nicht weiß wie
> ich weiter verfahren soll. Könntet ihr mir evtl. einen Tipp
> geben.
> danke
> liebe Grüße
>
>
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Hey Angela,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Also da der Abstand von P zu B gleich dem Abstand von P zu D sein muss, hab ich folgendes gemacht (nach der Formel Abstand von Punkt/Punkt):
[mm] |\overline{PB}| [/mm] = [mm] |\overline{PD}|
[/mm]
[mm] \wurzel{(2-x)^2+(3-y)^2+(-4-z)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{(-4-x)^2+(-1-y)^2+(4-z)^2}
[/mm]
4x-8y+16z =4
Aber nun komme ich leider nicht wirklich weiter
ganz liebe Grüße
searchgirl
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> Hey Angela,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>
> Also da der Abstand von P zu B gleich dem Abstand von P zu
> D sein muss, hab ich folgendes gemacht (nach der Formel
> Abstand von Punkt/Punkt):
>
> [mm]|\overline{PB}|[/mm] = [mm]|\overline{PD}|[/mm]
> [mm]\wurzel{(2-x)^2+(3-y)^2+(-4-z)^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{(-4-x)^2+(-1-y)^2+(4-z)^2}[/mm]
> 4x-8y+16z =4
Hallo,
ich verstehe: Du hast [mm] \overrightarrow{0P}=\vektor{x\\y\\z} [/mm] gesetzt und damit weitergearbeitet.
Auf diese Weise schickst Du Dich an, sämtliche Punkte herauszufinden, die von B und D denselben Abstand haben. Das sind ziemlich viele, Dein Ergebnis, welches ich nicht nachgerechnet habe, liefert ja auch eine komplette Ebene. Das ist ja auch anschaulich klar: die Ebene, die "in der Mitte zwischen den beiden Punkten durchgeht".
Du könntest Dich nun daranmachen herauszufinden, welchen Punkt diese Ebene mit der zuvor von Dir aufgestellten Geraden $ [mm] \overrightarrow{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] $ + $ [mm] r\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4} [/mm] $ gemeinsam hat, also ein passendes r ausrechnen.
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Ich würde Dir einen etwas anderen Weg vorschlagen. Da der gesuchte Punkt auf der Geraden $ [mm] \overrightarrow{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] $ + $ [mm] r\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4} [/mm] $ liegt, gibt es ja ein passendes [mm] r_1 [/mm] mit [mm] \overrightarrow{0P}= [/mm] $ [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] $ + $ [mm] r_\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4} [/mm] .
Also ist
[mm] \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0B} [/mm] - [mm] \overrightarrow{0P} =\overrightarrow{0B} [/mm] -$ [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] $ - $ [mm] r_\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4}=... [/mm] , und
[mm] \overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0D} [/mm] - [mm] \overrightarrow{0P} =\overrightarrow{0D} [/mm] -$ [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] $ - $ [mm] r_\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4}=...
[/mm]
Nun die Beträge dieser beiden Vektoren gleichsetzen und direkt das gesucht [mm] r_1 [/mm] errechnen.
Gruß v. Angela
>
> Aber nun komme ich leider nicht wirklich weiter
> ganz liebe Grüße
>
> searchgirl
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Hallo,
ich bin jetzt mal beide Varianten durchgegangen.
erster Weg:
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] + [mm] r\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4} [/mm]
4x-8y+16z =4 [mm] \Rightarrow [/mm] hab ich in eine Parameterform umgewandelt, indem ich mir 3 beliebige Punkte genommen und eingesetzt habe:
Folgende Punkte habe ich erhalten
R [mm] (0/0/\bruch{1}{4})
[/mm]
S (1/2/1)
T [mm] (2/5/\bruch{9}{4})
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 0\\ \bruch{1}{4}} +s*\vektor{1\\ 2\\1}+t*\vektor{2 \\ 5\\ \bruch{9}{4}} [/mm]
dies setzte ich mit meiner 1. Parametergleichung gleich und erhalte für
s = 47
t = -19
r = -(5/8)
und bekomme als Schnittpunkt und damit für P (9/-1/-2,5) heraus. Laut Zeichnung kann dies aber überhaupt nicht stimmen. Also habe ich den zweiten Weg einmal ausprobiert:
[mm] \vektor{2\\ 3\\-4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4} [/mm] = [mm] \vektor{-8 \\ 0\\4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4}
[/mm]
aber wenn ich weiter umforme erhalte ich entweder keine Lösung oder nur r=0
liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Fr 30.01.2009 | | Autor: | searchgirl |
die Parametergeleichung heißt natürlich
$ [mm] \overrightarrow{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0\\ 0\\ \bruch{1}{4}} +s\cdot{}\vektor{1\\ 2\\\bruch{3}{4}}+t\cdot{}\vektor{2 \\ 5\\ \bruch{8}{4}} [/mm] $
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> Hallo,
>
> ich bin jetzt mal beide Varianten durchgegangen.
>
> erster Weg:
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -1\\0}[/mm] +
> [mm]r\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4}[/mm]
>
> 4x-8y+16z =4 [mm]\Rightarrow[/mm] hab ich in eine Parameterform
> umgewandelt, indem ich mir 3 beliebige Punkte genommen und
> eingesetzt habe:
> Folgende Punkte habe ich erhalten
> R [mm](0/0/\bruch{1}{4})[/mm]
> S (1/2/1)
> T [mm](2/5/\bruch{9}{4})[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{0\\ 0\\ \bruch{1}{4}} +s*\vektor{1\\ 2\\1}+t*\vektor{2 \\ 5\\ \bruch{9}{4}}[/mm]
Hallo,
Du hast ja jetzt einfach die Ortsvektoren der Punkte S und T als Richtungsvektoren genommen.
Das ist ja nicht richtig. Du mußt doch die "Differenzvektoren" zum Stützvektor [mm] \overrightarrow{0R} [/mm] verwenden.
Von daher ist's kein Wunder, wenn das Verkehrte herauskommt.
>
> dies setzte ich mit meiner 1. Parametergleichung gleich und
> erhalte für
> s = 47
> t = -19
> r = -(5/8)
>
> und bekomme als Schnittpunkt und damit für P (9/-1/-2,5)
> heraus. Laut Zeichnung kann dies aber überhaupt nicht
> stimmen. Also habe ich den zweiten Weg einmal ausprobiert:
>
>
> [mm]\vektor{2\\ 3\\-4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4}[/mm] = [mm]\vektor{-8 \\ 0\\4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4}[/mm]
Nein, Du darfst die Vektoren nicht gleichsetzen. Es sollen doch nicht die beiden vektoren gleich sein, sondern ihre Beträge, also die Länge.
Gruß v. Angela
>
> aber wenn ich weiter umforme erhalte ich entweder keine
> Lösung oder nur r=0
>
> liebe Grüße
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bei dem ersten Weg habe ich die Parametergleichung nur falsch aufgeschrieben, es kommt aber das gleiche Ergebnis heraus.
Wenn ich deinen vorgeschlagenen Weg durchrechne komme ich ebenfalls auf r = -5/8
und die Koordinaten des Punktes P sind dann P (9/-1/-2,5)
aber das kann nicht hinkommen, da P außerhalb der Strecke von AD liegt...
bin ein wenig am vwezweifeln.....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Fr 30.01.2009 | | Autor: | searchgirl |
Hey Angela,
vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe alles nochmal gerechnet und es lag wirklich an der falschen Gleichung. Für r = 11/40 kommt P (1,8/-1/1,1) heraus. Könnte gerade die ganze Welt umarmen.
Danke !!!
Liebe Grüße
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> Wenn ich deinen vorgeschlagenen Weg durchrechne
Hallo,
beachte, daß Du den vektor [mm] \overrightarrow{BP} [/mm] falsch notiert hast.
Gruß v. Angela
komme ich
> ebenfalls auf r = -5/8
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> und bekomme als Schnittpunkt und damit für P (9/-1/-2,5)
> heraus. Laut Zeichnung kann dies aber überhaupt nicht
> stimmen. Also habe ich den zweiten Weg einmal ausprobiert:
>
>
> [mm]\vektor{2\\ 3\\-4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4}[/mm] = [mm]\vektor{-8 \\ 0\\4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4}[/mm]
Hallo,
daß man die nicht gleichsetzen muß, sondern ihre Beträge habe ich ja schon gesagt, aber wo kommt denn der Vektor [mm] \vektor{2\\ 3\\-4} [/mm] her?
Bei mir hieße der anders.
Gruß v. Angela
>
> aber wenn ich weiter umforme erhalte ich entweder keine
> Lösung oder nur r=0
>
> liebe Grüße
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> Hey Angela,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>
> Also da der Abstand von P zu B gleich dem Abstand von P zu
> D sein muss, hab ich folgendes gemacht (nach der Formel
> Abstand von Punkt/Punkt):
>
> [mm]|\overline{PB}|[/mm] = [mm]|\overline{PD}|[/mm]
> [mm]\wurzel{(2-x)^2+(3-y)^2+(-4-z)^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{(-4-x)^2+(-1-y)^2+(4-z)^2}[/mm]
> 4x-8y+16z =4
Hallo,
ich bekomme hier ein anderes Ergebnis, nämlich
-12x-8y+16z =4 .
Das dürfte sich im weiteren Verlauf der Berechnung auswirken.
Gruß v. Angela
>
> Aber nun komme ich leider nicht wirklich weiter
> ganz liebe Grüße
>
> searchgirl
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