www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "mathematische Statistik" - kumulanten-erzeugende Fkt.
kumulanten-erzeugende Fkt. < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "mathematische Statistik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

kumulanten-erzeugende Fkt.: Faltung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Mo 12.12.2011
Autor: mikexx

Aufgabe
Seien $X$ und $Y$ unabhängige diskrete Zufallsvariablen mit endlichem Träger [mm] $T_X\subset\mathbb [/mm] R$ bzw. [mm] $T_Y\subset\mathbb [/mm] R$. Zeigen Sie, dass für die Faltung der Kumulanten-erzeugenden Funktion gilt:

[mm] $K_{X+Y}(t)=K_X(t)+K_Y(t)$. [/mm]

Hallo, liebes Forum!

Meine Beweisidee sieht so aus (relativ straight-forward):

[mm] $K_{X+Y}(t)=\log(M_{X+Y}(t))=\log \left[E\left(e^{t(X+Y)}\right)\right]=\log\left[E\left(e^{tX+tY}\right)\right]=\log\left[E\left(e^{tX}e^{tY}\right)\right]$ [/mm]

Nun würde ich meinen, daß [mm] $e^{tX}$ [/mm] und [mm] $e^{tY}$ [/mm] zwei unabhängige Zufallsvariablen sind ($X$ und $Y$ sind nach Voraussetzung unabhängig).

Daher würde ich so weiter machen:

[mm] $=\log\left[E\left(e^{tX}\right)\cdot E\left(e^{tY}\right)\right]=\log\left[E\left(e^{tX}\right)\right]+\log\left[E\left(e^{tY}\right)\right]=\log M_X(t)+\log M_Y(t)=K_X(t)+K_Y(t)$ [/mm]



Ist das so korrekt?


Danke für ein Feedback!


LG von

mikexx

        
Bezug
kumulanten-erzeugende Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Mo 12.12.2011
Autor: Teufel

Hi!

Sieht gut aus! Und ja, es gilt: Wenn X und Y unabhängig sind, so auch f(X) und g(Y) (falls f, g messbar sind, was bei stetigen Funktionen aber der Fall ist).

Bezug
                
Bezug
kumulanten-erzeugende Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Mo 12.12.2011
Autor: mikexx

Habe ich Dich korrekt verstanden:

Da $X$ und $Y$ n.V. unabhängig sind, sind es auch

[mm] $f(X)=e^{tX}$ [/mm] und [mm] $f(Y)=e^{tY}$, [/mm] weil

[mm] $f(z)=e^{tz}$ [/mm] eine stetige (also meßbare) Funktion ist?

Bezug
                        
Bezug
kumulanten-erzeugende Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mo 12.12.2011
Autor: Teufel

Genau!

Bezug
                                
Bezug
kumulanten-erzeugende Fkt.: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Mo 12.12.2011
Autor: mikexx

Lieben Dank!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "mathematische Statistik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]