kritische Punkte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mi 28.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | hallo,
um die kritischen Punkte einer Funktion f zu bestimmen, bestimmt man zuerst die f' und setzt man f'=0.
danach kann man durch Einsetzen von x in f'' bestimmen ob es um einen Sottelpunkt(f''(x)=0), Tiefpunkt(f''(x)>0) oder Hochpunkt(f''(x)<0) handelt. Ich hoffe bis hierhin bin ich aufm richtigen Weg.
ich hab [mm] f(x)=ln(1+x^{4}) [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{4x^{3}}{(1+x^{4})}
[/mm]
der Nenner soll ungleich 0 sein dann f'(x)=0 wenn [mm] 4x^{3}=0 [/mm] d.h wenn x=0 das ist mein kritischer Punkt.
[mm] f''=\bruch{12x^{2}-4x^{6}}{(1+x^{4})^{2}}
[/mm]
ich setze dann x in mein f'' ein :
f''(0)=0 es handelt sich um einn sottelpunkt
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ist es richtig wie ich's gemacht hab?
vielen Dank
Gruß Saf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mi 28.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
> um die kritischen Punkte einer Funktion f zu bestimmen,
> bestimmt man zuerst die f' und setzt man f'=0.
> danach kann man durch Einsetzen von x in f'' bestimmen ob
> es um einen Sottelpunkt(f''(x)=0),
Das stimmt so nicht. Beispiel [mm] f(x)=x^4. [/mm] Es ist f'(0)=f''(0)=0. f hat in 0 einen Tiefpunkt, aber keinen Sattelpunkt.
> Tiefpunkt(f''(x)>0) oder
> Hochpunkt(f''(x)<0) handelt. Ich hoffe bis hierhin bin ich
> aufm richtigen Weg.
> ich hab [mm]f(x)=ln(1+x^{4})[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{4x^{3}}{(1+x^{4})}[/mm]
> der Nenner soll ungleich 0 sein dann f'(x)=0 wenn [mm]4x^{3}=0[/mm]
> d.h wenn x=0 das ist mein kritischer Punkt.
> [mm]f''=\bruch{12x^{2}-4x^{6}}{(1+x^{4})^{2}}[/mm]
> ich setze dann x in mein f'' ein :
> f''(0)=0 es handelt sich um einn sottelpunkt
Vielleicht (s.o). Es gilt:
f sei (n + 1)-mal differenzierbar, und es gelte
[mm] f'(x_0)=f''(x_0)=\ldots=f^{(n)}(x_0)=0\, [/mm] und [mm] f^{(n+1)}(x_0)\ne0.
[/mm]
Dann gilt:
(1) Falls n ungerade ist und [mm] f^{(n + 1})(x_0) [/mm] < 0 (bzw. [mm] f^{(n + 1)}(x_0) [/mm] > 0), so hat f bei [mm] x_0 [/mm] ein relatives Maximum (bzw. Minimum).
(2) Falls n gerade ist, so hat f bei [mm] x_0 [/mm] kein lokales Extremum.
FRED
>
> ist es richtig wie ich's gemacht hab?
> vielen Dank
> Gruß Saf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 28.07.2010 | | Autor: | safsaf |
ok ich denke ich habs besser verstanden, also für f'(x)=0 wenn x=0 ist. das ist denke ich mal mein kritischer Punkt. und f''(x) kann man umschreiben : [mm] f''(x)=\bruch{x^{2}*(12-4x^{4})}{(1+x^{4})^{2}}
[/mm]
d.h f''=0 wenn [mm] x^{2}=0 [/mm] bzw. x=0(Sattelpunkt) oder [mm] x=\wurzel[4]{\bruch{12}{4}}(Tiefpunkt)
[/mm]
sieht das besser aus??
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Hallo safsaf ,
> ok ich denke ich habs besser verstanden, also für f'(x)=0
> wenn x=0 ist. das ist denke ich mal mein kritischer Punkt.
Ja, das ist auch richtig.
> und f''(x) kann man umschreiben :
> [mm]f''(x)=\bruch{x^{2}*(12-4x^{4})}{(1+x^{4})^{2}}[/mm]
> d.h f''=0 wenn [mm]x^{2}=0[/mm] bzw. x=0(Sattelpunkt) oder
> [mm]x=\wurzel[4]{\bruch{12}{4}}(Tiefpunkt)[/mm]
>
> sieht das besser aus??
Da f'(0)=f''(0)=0 ist, musst Du den Fall x=0 weitersuchen,
und zwar in der Art, wie mein Vorredner schon schrieb.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 28.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | ok danke, also ich hab meine f'' weiter abgeleitet bis ich auf [mm] 24+180x^{4} [/mm] komm in dem Fall f(x=0)=24. ist es do gemeint? |
dann ist das ein Tiefpunkt? was ist mit meinem vorherigen Wert?
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Hallo safsaf,
> ok danke, also ich hab meine f'' weiter abgeleitet bis ich
> auf [mm]24+180x^{4}[/mm] komm in dem Fall f(x=0)=24. ist es do
> gemeint?
Ja, das ist so gemeint.
Poste doch die weiteren vollständigen Ableitungen,
denn ich erhalte jeweils einen anderen Ausdruck.
> dann ist das ein Tiefpunkt? was ist mit meinem vorherigen
> Wert?
Wenn es sich um eine gerade Ableitung handelt,
heisst [mm]f^{\left(n\right)}\left(x\right) \not=0, \ n \operatorname{gerade}[/mm],
dann ist das entweder ein Tiefpunkt oder Hochpunkt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mi 28.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | also $ [mm] f'(x)=\bruch{4x^{3}}{(1+x^{4})} [/mm] $ und f''(x)=0 wenn $ [mm] x=\wurzel[4]{\bruch{12}{4}}(Tiefpunkt) [/mm] $ und [mm] f'''=24+36x^{5} [/mm] schließlich [mm] f''''(x)=24+108x^{4} [/mm] das sind die Ableitungen sind beide Werte dann kritisch also 24 und $ [mm] x=\wurzel[4]{\bruch{12}{4}}(Tiefpunkt) [/mm] $ |
danke
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Hallo safsaf,
> also [mm]f'(x)=\bruch{4x^{3}}{(1+x^{4})}[/mm] und f''(x)=0 wenn
> [mm]x=\wurzel[4]{\bruch{12}{4}}(Tiefpunkt)[/mm] und [mm]f'''=24+36x^{5}[/mm]
> schließlich [mm]f''''(x)=24+108x^{4}[/mm] das sind die Ableitungen
> sind beide Werte dann kritisch also 24 und
> [mm]x=\wurzel[4]{\bruch{12}{4}}(Tiefpunkt)[/mm]
[mm]x=\red{\pm}\wurzel[4]{\bruch{12}{4}}[/mm] ist doch ein Wendepunkt,
sofern [mm]f'''\left(x\right)[/mm] an dieser Stelle nicht verschwindet.
Um zu entscheiden, welche Art Extrema an x=0 vorliegt,
mache Dir eine Skizze.Dann stellst Du fest, daß an der
Stelle x=0 ein Minimum vorliegt.
> danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mi 28.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | ich weiß aber nicht wie ich damit umgehen soll ? |
kannst du es mir erklären?
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Hallo safsaf,
> ich weiß aber nicht wie ich damit umgehen soll ?
> kannst du es mir erklären?
Berechne die solange die Ableitungen an der Stelle x=0,
bist Du auf eine Ableitung stösst, die verschieden von Null ist.
Gruss
MathePower
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