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| Aufgabe | Sei [mm]E=\{(x_1,x_2)\in \IR^2 | \sqrt{3x_1^2+x^2}\leq 1\}[/mm] und [mm]\partial E=\{(x_1,x_2)\in \IR^2 | \sqrt{3x_1^2+x^2}= 1\}[/mm] der Rand. Zeigen Sie ,dass
a) E ist konvex
b) Für beliebige [mm]A\subset \partial E[/mm] ist [mm]E\setminus A[/mm] konvex. |
Also zu a)
zu zeigen wäre ja:
Für alle [mm]s,t\in E[/mm] gilt [mm]\lambda s + (1-\lambda)t \in E[/mm] mit [mm]\lambda \in [0,1][/mm]
Dann nehme ich mir [mm]s=\vektor{s_1 \\
s_2},t=\vektor{t_1 \\
t_2}\in E[/mm] beliebig. und stelle auf
[mm]\lambda\vektor{s_1 \\
s_2}+(1-\lambda)\vektor{t_1 \\
t_2}=\lambda\vektor{s_1-t_1 \\
s_2-t_2}+\vektor{t_1 \\
t_2}=\vektor{\lambda (s_1-t_1)+t_1 \\
\lambda (s_2-t_2) + t_2}[/mm]
Jetzt muss ich doch zeigen, dass [mm]\sqrt{3*(\lambda (s_1-t_1)+t_1)^2+(\lambda (s_2-t_2) + t_2)^2}\leq 1[/mm]
Wie schätze ich das jetzt ab. Ich komme bis auf
[mm]\sqrt{3*(\lambda (s_1-t_1)+t_1)^2+(\lambda (s_2-t_2) + t_2)^2}=\sqrt {3\, \left( \lambda \left( s_{{1}}-t_{{1}} \right) \right) ^{2}+6\,\lambda \left( s_{{1}}-t_{{1}} \right) t_{{1}}+3\,{t_{{1}}}^{2}+ \left( \lambda \left( s_{{2}}-t_{{2}} \right) \right) ^{2}+2\,\lambda \left( s_{{2}}-t_{{2}} \right) t_{{2}}+{t_{{2}}}^{2}}[/mm]
Über jede Hilfe bin ich dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]E=\{(x_1,x_2)\in \IR^2 | \sqrt{3x_1^2+x^2}\leq 1\}[/mm] und
> [mm]\partial E=\{(x_1,x_2)\in \IR^2 | \sqrt{3x_1^2+x^2}= 1\}[/mm]
> der Rand. Zeigen Sie ,dass
>
> a) E ist konvex
> b) Für beliebige [mm]A\subset \partial E[/mm] ist [mm]E\setminus A[/mm]
> konvex.
>
> Also zu a)
> zu zeigen wäre ja:
> Für alle [mm]s,t\in E[/mm] gilt [mm]\lambda s + (1-\lambda)t \in E[/mm] mit
> [mm]\lambda \in [0,1][/mm]
> Dann nehme ich mir [mm]s=\vektor{s_1 \\
s_2},t=\vektor{t_1 \\
t_2}\in E[/mm]
> beliebig. und stelle auf
>
> [mm]\lambda\vektor{s_1 \\
s_2}+(1-\lambda)\vektor{t_1 \\
t_2}=\lambda\vektor{s_1-t_1 \\
s_2-t_2}+\vektor{t_1 \\
t_2}=\vektor{\lambda (s_1-t_1)+t_1 \\
\lambda (s_2-t_2) + t_2}[/mm]
>
> Jetzt muss ich doch zeigen, dass [mm]\sqrt{3*(\lambda (s_1-t_1)+t_1)^2+(\lambda (s_2-t_2) + t_2)^2}\leq 1[/mm]
1. Lass mal die blöde Wurzel weg. Es genügt zu zeigen:
$ [mm] 3*(\lambda (s_1-t_1)+t_1)^2+(\lambda (s_2-t_2) [/mm] + [mm] t_2)^2\leq [/mm] 1$
2. Wenn Du nicht benutzt, dass
[mm] $3s_1^2+s_2^2 \le [/mm] 1$ und [mm] $3t_1^2+t_2^2 \le [/mm] 1$
gilt, wirst Du nie ans Ziel kommen.
FRED
>
> Wie schätze ich das jetzt ab. Ich komme bis auf
> [mm]\sqrt{3*(\lambda (s_1-t_1)+t_1)^2+(\lambda (s_2-t_2) + t_2)^2}=\sqrt {3\, \left( \lambda \left( s_{{1}}-t_{{1}} \right) \right) ^{2}+6\,\lambda \left( s_{{1}}-t_{{1}} \right) t_{{1}}+3\,{t_{{1}}}^{2}+ \left( \lambda \left( s_{{2}}-t_{{2}} \right) \right) ^{2}+2\,\lambda \left( s_{{2}}-t_{{2}} \right) t_{{2}}+{t_{{2}}}^{2}}[/mm]
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> Über jede Hilfe bin ich dankbar.
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Okay. Wenn ich den ganzen Term ausmultipliziere, dann komme ich auf:
[mm]3\lambda^2s_1^2-6\lambda^2s_1t_1+3\lambda^2t_1^2+2\lambda s_1t_1-2\lambda t_1^2+t_1^2+\lambda^2s_2^2-2\lambda^2s_2t_2+\lambda^2t_2^2+2\lambda s_2t_2-2\lambda t_2^2+t_2^2[/mm]
und sortiere um
[mm]\blue{3\lambda^2s_1^2+\lambda^2s_2^2+3\lambda^2t_1^2+\lambda^2t_2^2}-6\lambda^2s_1t_1+2\lambda s_1t_1-2\lambda t_1^2+t_1^2-2\lambda^2s_2t_2+2\lambda s_2t_2-2\lambda t_2^2+t_2^2[/mm]
[mm]\blue{\leq 2*\lambda^2}-6\lambda^2s_1t_1+2\lambda s_1t_1-2\lambda t_1^2+t_1^2-2\lambda^2s_2t_2+2\lambda s_2t_2-2\lambda t_2^2+t_2^2[/mm]
Ich sehe jetzt gar nichts mehr. Ich kann auch wieder alles zurück sortieren:
[mm]\leq 2\lambda^2+s_1t_1(2\lambda-6\lambda^2)+s_2t_2(2\lambda-2\lambda^2)+t_1^2(1-4\lambda)+t_2[/mm]
Ich hätte da gerne jetzt aber eine
[mm] $\leq [/mm] 1$ stehen
Hilft mir bitte einer auf die Sprünge. Das beschäftig mich schon seit vorgestern abend.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 11.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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