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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Sa 06.11.2004 | | Autor: | IKE |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe. Sie lautet folgendermaßen:
Sei f: R->R konvex und nicht konstant.
Nun soll ich also zeigen, das f unbeschränkt ist. Aber da geht es schon los, ich habe keine wirkliche Idee wie ich daran gehen soll, da ich ja nicht mal eine Funktion gegeben habe. Hat vielleicht jemand einen Tipp oder eine Idee wie man da rangehen könnte??
mfg IKE
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:05 So 07.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo IKE,
da $f$ nicht konstant ist, gibt es [mm] $x_1,x_2 \in \IR$, $x_1\not=x_2$ [/mm] mit [mm] $f(x_1)
Wir zeigen:
Es gilt für alle $r>0$:
(I) [mm] $f(x_2+r(x_2-x_1)) \ge f(x_2)+r(f(x_2)-f(x_1))$.
[/mm]
Beweis dazu:
Angenommen, das wäre nicht der Fall. Dann existiert ein [mm] $r_0>0$, [/mm] so dass:
[mm] $(\star)$ $f(x_2+r_0(x_2-x_1))< f(x_2)+r_0(f(x_2)-f(x_1))$
[/mm]
Wir definieren:
[mm] $(\star_1)$ $\lambda:=\frac{r_0}{1+r_0}$.
[/mm]
Dann gilt:
1.) [mm] $0<\lambda<1$
[/mm]
2.) [mm] $\lambda x_1+(1-\lambda)(x_2+r_0(x_2-x_1))=x_2$ [/mm] (Nachrechnen!)
Also folgt:
[m]f(x_2)[/m]
[m]\stackrel{2.)}{=}f(\lambda x_1 +(1-\lambda)(x_2+r_0(x_2-x_1)))[/m]
[m]\stackrel{f \,\,konvex}{\le}\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2+r_0(x_2-x_1))[/m]
[m]\stackrel{(\star_1)}{=}\frac{r_0}{1+r_0}f(x_1)+\frac{1}{1+r_0}f(x_2+r_0(x_2-x_1))[/m]
[m]\stackrel{nach \,\,(\star)}{\green{<}}\frac{r_0}{1+r_0}f(x_1)+\frac{1}{1+r_0}[f(x_2)+r_0(f(x_2)-f(x_1))][/m]
[m]=\frac{r_0}{1+r_0}f(x_1)+\frac{1}{1+r_0}f(x_2)+\frac{r_0}{1+r_0}f(x_2)-\frac{r_0}{1+r_0}f(x_1)[/m]
[mm] $=\frac{1+r_0}{1+r_0}f(x_2)$
[/mm]
[mm] $=f(x_2)$,
[/mm]
also:
[mm] $f(x_2)\green{<}f(x_2)$
[/mm]
Widerspruch!
Also gilt (I).
Aus (I) folgt aber wegen [mm] $f(x_2)>f(x_1)$ [/mm] (siehe meinen ersten Satz!) die Unbeschränktheit von $f$, wenn man $r [mm] \to \infty$ [/mm] laufen läßt!
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 So 07.11.2004 | | Autor: | IKE |
Vielen Dank erstmal dafür, damit kann ich schon einiges mehr anfangen.
mfg IKE
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