www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - konvergiert diese Reihe?
konvergiert diese Reihe? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

konvergiert diese Reihe?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Sa 28.03.2015
Autor: kolja21

Aufgabe
Entscheiden Sie, ob die folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k+1}{k^{2}} [/mm]

Ich würde sagen, ja, sie konvergiert, weil die Folge gegen 0 läuft, wenn k gegen Unendlich läuft. Deswegen muss die Reihe konvergieren.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^{2}} [/mm] = 0+0 = 0
Seltsamerweise behauptet Wolfram Alpha aber was anderes, wenn ich "sum 1 to infinity [mm] (k+1)/(k^2)" [/mm] eingebe.

Ebenso, wenn ich [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}} [/mm] eingebe, soll es angeblich divergieren. Aber hier ist doch offensichtlich, dass man [mm] \bruch{k}{k^{2}} [/mm] zu [mm] \bruch{1}{k} [/mm] umformen kann, sodass offensichtlich ist, dass die Folge zu 0 läuft und die Reihe konvergieren muss. Liegt Wolfram Alpha falsch, oder übersehe ich etwas?

        
Bezug
konvergiert diese Reihe?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Sa 28.03.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Entscheiden Sie, ob die folgende Reihe konvergiert:
>  [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k+1}{k^{2}}[/mm]
>  Ich würde
> sagen, ja, sie konvergiert, weil die Folge gegen 0 läuft,
> wenn k gegen Unendlich läuft. Deswegen muss die Reihe
> konvergieren.

nein. Das Nullfolgenkriterium ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.

>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^{2}}[/mm]
> = 0+0 = 0

[ok]

>  Seltsamerweise behauptet Wolfram Alpha aber was anderes,
> wenn ich "sum 1 to infinity [mm](k+1)/(k^2)"[/mm] eingebe.

Damit hat Wolframalpha auch recht.

>  
> Ebenso, wenn ich [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}}[/mm]
> eingebe, soll es angeblich divergieren. Aber hier ist doch

Tut es auch.

> offensichtlich, dass man [mm]\bruch{k}{k^{2}}[/mm] zu [mm]\bruch{1}{k}[/mm]

[ok]

> umformen kann, sodass offensichtlich ist, dass die Folge zu
> 0 läuft und die Reihe konvergieren muss. Liegt Wolfram
> Alpha falsch, oder übersehe ich etwas?

Die harmonische Reihe:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$ [/mm]
ist das klassische Beispiel dafür, dass eine Reihe, die das Nullfolgenkriterium erfüllt divergieren kann.

Gruß,

notinX

Bezug
        
Bezug
konvergiert diese Reihe?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:34 So 29.03.2015
Autor: notinX

Hallo,

kann es sein, dass Du die Frage []hier schonmal gestellt hast?
Die Ähnlichkeit der Beiträge ist doch verblüffend...

Gruß,

notinX

Bezug
        
Bezug
konvergiert diese Reihe?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 So 29.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

schau' mal hier:
  
    https://matheraum.de/forum/Minorantenkriterium/t910667

oder hier:

    https://matheraum.de/read?i=894819

Im Heuser, Analysis I, 14. Auflage findest Du unter 33.6 den erwähnten
Satz; ich bin der Meinung, dass dieser viel mehr gewürdigt werden sollte,
als es meist der Fall ist, daher will ich ihn hier kurz anwenden:
Wegen

    [mm] $\frac{k+1}{k^2}\bigg/ \frac{1}{k} \to [/mm] 1 > 0$

hat obige Reihe das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$. [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
konvergiert diese Reihe?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:59 So 29.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^{2}}[/mm] = 0+0 = 0

achte auf die Indizes: [mm] $\lim_{\red{n} \to \infty}\frac{1}{\blue{k}}=0$, [/mm] da beißen sich n und k!

>  Seltsamerweise behauptet Wolfram Alpha aber was anderes,
> wenn ich "sum 1 to infinity [mm](k+1)/(k^2)"[/mm] eingebe.
>  
> Ebenso, wenn ich [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}}[/mm]
> eingebe, soll es angeblich divergieren.

Wenn Du in irgendeiner Analysis-Prüfung nicht weißt, dass die

    []Harmonische Reihe

divergiert und auch nicht weißt, []warum sie divergiert, wirst Du es schwer
haben, sie noch zu bestehen!

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]