konvergente Zahlenfolge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Do 19.10.2006 | | Autor: | citaro |
| Aufgabe | Seien [mm] \{a_{n} \} [/mm] und [mm] \{b_{n} \} [/mm] konvergente Zahlenfolgen und es gelte
[mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] für alle n aus N
a) Zeige, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}
[/mm]
b) Gebe ein Beispiel an, bei dem [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n} [/mm] gilt |
Hallo,
wäre prima, wenn mir hier jemand auch noch einen kleinen Tipp geben könnte. Bei a) habe ich nicht die leiseste Spur einer Ahnung, wie ich das beweisen soll - kann mir jemand einen Tipp / Ansatz geben?
Zu b): Ich würde sagen [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] . Was meint Ihr?
Danke für jede Hilfe  !
Viele Grüße aus Berlin,
Oliver
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Do 19.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Oliver!
Herzlich willkommen im Matheraum ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dein Vorschlag für Teil (b) sieht sehr gut aus! Alternativ hättest du auch eine der beiden Folgen konstant wählen können; so finden sich auch leicht Beispiele.
Zu (a):
Ich schlage zwei Wege vor.
1. Ist dir folgender Satz bereits bekannt?
Sind [mm] $(a_n),(b_n)$ [/mm] konvergent mit [mm] $(a_n)\to [/mm] a, [mm] (b_n)\to [/mm] b$, so ist auch [mm] $(a_n+b_n)$ [/mm] konvergent und es gilt [mm] $(a_n+b_n)\to [/mm] a+b$.
Wenn ja, dann kannst du die Folge der [mm] $b_n-a_n$ [/mm] betrachten. Per Definition sind alle Folgenglieder nichtnegativ. Wenn du nun zeigen kannst, dass der (nach dem obigen Satz existente!) Grenzwert auch nichtnegativ sein muss, folgt (ebenfalls nach dem obigen Satz) bereits die Behauptung.
2. Falls dir der Satz nicht bekannt ist, musst du es wohl ein wenig anders machen. Sind $a,b$ die Grenzwerte von [mm] $(a_n),(b_n)$, [/mm] so ist zu zeigen, dass [mm] $a\leq [/mm] b$. Du kannst nun annehmen, dass $a>b$ gilt. Nun wählst du zwei Umgebungen von $a$ und $b$, die sich nicht schneiden, und wendest die Definition der Konvergenz zur Bestimmung von Folgengliedern mit [mm] $a_n>b_n$ [/mm] an (was denn den erhofften Widerspruch liefert).
Versuch's mal.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Do 19.10.2006 | | Autor: | citaro |
Hallo Hanno,
danke für deine schnelle Antwort.
Der Satz von 1.) sagt mir etwas, allerdings kam ich nicht auf die Idee, ihn anzuwenden. Insbesondere aus folgender Überlegung:
Ich muss ja zeigen, dass b - a nichtnegativ ist und dies ist letztendlich nicht anderes als zu zeigen, dass b >= a und dies war die Aufgabenstellung. Irgendwie habe ich jetzt das gefühl, dass ich mich im kreis gedreht habe, oder liegt hier ein Denkfehler?
Viele Grüße
Oliver
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Do 19.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Ich muss ja zeigen, dass b - a nichtnegativ ist und dies ist letztendlich nicht anderes als zu zeigen, dass b >= a und dies war die Aufgabenstellung. Irgendwie habe ich jetzt das gefühl, dass ich mich im kreis gedreht habe, oder liegt hier ein Denkfehler?
Ja, die beiden Aussagen sind natürlich äquivalent, aber [mm] $b-a\geq [/mm] 0$ kannst du leicht daraus folgern, dass der Limes einer konvergenten Folge mit nichtnegativern Folgengliedern selbst nichtnegativ ist. Eben dies musst du nun noch beweisen. Nimm dazu an, der Limes sei negativ und schließe auf negative Folgenglieder - das bringt dann den gewünschten Widerspruch.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Fr 20.10.2006 | | Autor: | citaro |
Hallo Hanno,
danke für die Erklärung - ich glaub, jetzt hab ich's verstanden
viele Grüße
citaro
|
|
|
|
