konvergente Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mo 27.11.2006 | | Autor: | kleiner- |
| Aufgabe | Zeige, dass die durch
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k}
[/mm]
definierte Folge konvergiert. |
Wie kann ich das zeigen das diese Folge konvergiert und gegen was soll sie konvergieren ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mo 27.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo kleiner-,
Ich meine, dass du die Aufgabe loesen kannst, indem du zeigst:
(i) [mm] $1/2\le a_n [/mm] <1$
(ii) [mm] $(a_n)$ [/mm] ist monoton wachsend.
Aus einem bekannten Satz der Analysis folgt die Konvergenz.
hth
PS: Den Grenzwert festzustellen ist nicht Teil der Aufgabe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Di 28.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo kleiner-!
Den grundsätzlichen Weg hat Dir luis ja bereits verraten, um die Konvergenz zu zeigen.
Hier noch ein Tipp der Reihe in eine rekursive Darstellung, die helfen sollte:
[mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=(n+1)+1}^{2*(n+1)}\bruch{1}{k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=n+2}^{2n+2}\bruch{1}{k}$
[/mm]
$= \ [mm] -\summe_{k=n+1}^{n+1}\bruch{1}{k}+\summe_{k=n+1}^{2n+2}\bruch{1}{k} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{n+1}+\summe_{k=n+1}^{2n+2}\bruch{1}{k}$
[/mm]
$= \ [mm] -\bruch{1}{n+1}+\summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k}+\summe_{k=2n+1}^{2n+2}\bruch{1}{k} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{n+1}+\summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}$
[/mm]
$= \ [mm] \blue{\summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k}}+\bruch{1}{(2n+1)*(2n+2)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{a_n}+\bruch{1}{(2n+1)*(2n+2)}$
[/mm]
Damit ist die Monotonie schon mal offensichtlich. Für den Nachweis der Beschränktheit bietet sich nun z.B vollständige Induktion an.
Gruß
Loddar
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