konjugierte U-gruppen/isomorph < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:32 So 27.11.2005 | | Autor: | Sanshine |
Hallo.
Ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:
Seien G eine Gruppe, und U,V Untergruppen zu G.
Beh: G/U und G/V (G-Mengen) sind G-isomorph [mm] \gdw [/mm] U und V sind in G zueinander konjugiert.
So: erst mal einiges klärendes Vorweg:
U und V sind in G zueinander konjugiert, das heißt doch, dass ein [mm] g\inG [/mm] existiert mit [mm] U=g^{-1}Vg, [/mm] oder?
Und weiter heißt "G/U und G/V sind G-isomorph" doch, dass ich eine bij. Abb [mm] \phi [/mm] : G/U [mm] \to [/mm] G/V finde, so dass f.a. [mm] Uh\inG/U [/mm] und f.a. [mm] g\inG [/mm] gilt: [mm] (Uh)\phi*g=(Uhg)\phi?
[/mm]
Dann ist mir dir Rückrichtung nämlich klar, wenn ich [mm] \phi [/mm] : Ug [mm] \mapsto [/mm] Vg setze und es folglich gilt: [mm] (Uh)\phi*g=(Vh)g=V(hg)=(U(hg))\phi. [/mm] Oder? Aber dafür nutze ich doch gar nicht aus, dass die beiden konjugiert zueinander sind. Habe ich etwas übersehen?Mache ich es mir zu einfach?
Und die Hinrichtung... da habe ich nicht wirklich eine Ahnung. Kann mir da bitte jemand helfen? Bin ein wenig aufgeschmissen...
Vielen Dank,
San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 So 27.11.2005 | | Autor: | felixf |
> Hallo.
> Ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:
> Seien G eine Gruppe, und U,V Untergruppen zu G.
> Beh: G/U und G/V (G-Mengen) sind G-isomorph [mm]\gdw[/mm] U und V
> sind in G zueinander konjugiert.
> So: erst mal einiges klärendes Vorweg:
> U und V sind in G zueinander konjugiert, das heißt doch,
> dass ein [mm]g\inG[/mm] existiert mit [mm]U=g^{-1}Vg,[/mm] oder?
Ja.
> Und weiter heißt "G/U und G/V sind G-isomorph" doch, dass
> ich eine bij. Abb [mm]\phi[/mm] : G/U [mm]\to[/mm] G/V finde, so dass f.a.
> [mm]Uh\inG/U[/mm] und f.a. [mm]g\inG[/mm] gilt: [mm](Uh)\phi*g=(Uhg)\phi?[/mm]
Genau. Und [mm] \phi [/mm] muss natuerlich ein Gruppenmorphismus sein (was es in diesem Fall automatisch ist, da die Projektion G --> G/U surjektiv ist).
> Dann ist mir dir Rückrichtung nämlich klar, wenn ich [mm]\phi[/mm]
> : Ug [mm]\mapsto[/mm] Vg setze und es folglich gilt:
> [mm](Uh)\phi*g=(Vh)g=V(hg)=(U(hg))\phi.[/mm] Oder?
> Aber dafür nutze
> ich doch gar nicht aus, dass die beiden konjugiert
> zueinander sind. Habe ich etwas übersehen?Mache ich es mir
> zu einfach?
Ist deine Abbildung [mm] \phi [/mm] denn wohldefiniert? Um das nachzupruefen brauchst du wahrscheinlich, dass U und V konjugiert sind.
> Und die Hinrichtung... da habe ich nicht wirklich eine
> Ahnung. Kann mir da bitte jemand helfen? Bin ein wenig
> aufgeschmissen...
Nun, wenn es so einen G-Isomorphismus [mm] \phi [/mm] gibt, muss gelten [mm] \phi(U [/mm] g) = [mm] \phi(U) [/mm] g = V g fur alle g: damit ist er genau von der Form wie gerade. Und jetzt musst du unter der Voraussetzung, dass [mm] \phi [/mm] wohldefiniert ist nachrechnen, dass U und V konjugiert sind (sozusagen das von gerade, nur rueckwaerts).
HTH,
Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 So 27.11.2005 | | Autor: | Sanshine |
Klingt vom prinzip her wunderbar logisch. vielen Dank.
Allerdings war ich mir nicht sicher, dass ich mir bei der hinrichtung die Abbildung einfach so setzen kann? es heißt doch nur, dass so ein [mm] \phi [/mm] existiert und nicht, dass es zwingender maßen so aussieht (mit [mm] \phi [/mm] : Ug [mm] \mapsto [/mm] Vg)
Darf ich das wirklich so einfach?
Gruß San
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 So 27.11.2005 | | Autor: | felixf |
> Allerdings war ich mir nicht sicher, dass ich mir bei der
> hinrichtung die Abbildung einfach so setzen kann?
Du brauchst es nicht zu setzen, durch einfaches ausnutzen der G-Linearitaet folgt das sofort! Du weisst [mm]\phi(U h) g = \phi(U h g)[/mm] fuer alle h, g aus G. Und du weisst [mm]\phi(U) = V[/mm], da es ein Gruppenhomomorphismus ist. Also ist [mm]\phi(U g) = \phi(U) g = V g[/mm] fuer alle g in G, womit [mm] \phi [/mm] genau diese Form haben muss 
LG Felix
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:50 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank für die Antworten bis jetzt.
Allerdings rätsel und rätsel ich und bekomme die Sache mit der Wohldefiniertheit doch nicht hin. Weder in die eine noch in die andere Richtung. Irgendwie scheine ich dafür mal wieder zu doof zu sein, wäre also lieb, wenn mir noch mal jemand weiter helfen könnte. Also es bleibt eigentlich doch nur noch zu zeigen:
[mm] \phi: [/mm] G/U [mm] \to [/mm] G/V, Ug [mm] \mapsto [/mm] Vg ist wohldefiniert [mm] \gdw \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] G: [mm] U=g^{-1}Vg...
[/mm]
Vielen Dank schon mal im Voraus...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Sa 03.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Sanshine!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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