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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mo 28.03.2011 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Gegeben sei die Aufgabe f(x) = x - [mm] \wurzel{x^2-1} [/mm] für x >> 1 zu berechnen.
(a) Ist die Aufgabe gut konditioniert ?
(b) Der Funktionswert f(x) werde mit folgendem Algorithmus berechnet
[mm] y_1 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] -1 , [mm] y_2 [/mm] = [mm] \wurzel{y_1} [/mm] , f(x) = [mm] y_3 [/mm] = [mm] x-y_2
[/mm]
Weisen Sie nach, dass der Algorithmus für x>>1 nicht stabil ist. Berechnen Sie dazu die relativen Konditionszahlen des Algorithmus
(c) Geben Sie einen stabilen Algorithmus zur Berechnung von f(x) an. |
hallo zusammen,
ich hab hier mal was dazu gemacht aber keine ahnung ob es stimmt.
zu (a)
aus wikipedia hab ich, dass k_rel = | [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)}*x [/mm] | ist.
wenn ich das nun für die obige funktion mache erhalte ich
k_rel = [mm] \bruch{x - \bruch{2x^2}{2 \wurzel{x^2-1}}}{x- \wurzel{x^2-1}}
[/mm]
die aufgabe ist also gut konditioniert da für x>>1 die relative konditionszahl sehr klein wird.
beim aufgabenteil (b) weiß ich leider nicht wirklich was ich zu tun habe. wäre nett wenn mal jemand über aufgabenteil (a) drüberschaut und mir evtl. bei aufgabenteil (b) helfen könnte.
lg
meep
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Hallo meep,
> Gegeben sei die Aufgabe f(x) = x - [mm]\wurzel{x^2-1}[/mm] für x >>
> 1 zu berechnen.
> (a) Ist die Aufgabe gut konditioniert ?
> (b) Der Funktionswert f(x) werde mit folgendem Algorithmus
> berechnet
> [mm]y_1[/mm] = [mm]x^2[/mm] -1 , [mm]y_2[/mm] = [mm]\wurzel{y_1}[/mm] , f(x) = [mm]y_3[/mm] = [mm]x-y_2[/mm]
> Weisen Sie nach, dass der Algorithmus für x>>1 nicht
> stabil ist. Berechnen Sie dazu die relativen
> Konditionszahlen des Algorithmus
> (c) Geben Sie einen stabilen Algorithmus zur Berechnung
> von f(x) an.
> hallo zusammen,
>
> ich hab hier mal was dazu gemacht aber keine ahnung ob es
> stimmt.
>
> zu (a)
>
> aus wikipedia hab ich, dass k_rel = | [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}*x[/mm]
> | ist.
>
> wenn ich das nun für die obige funktion mache erhalte ich
>
> k_rel = [mm]\bruch{x - \bruch{2x^2}{2 \wurzel{x^2-1}}}{x- \wurzel{x^2-1}}[/mm]
>
> die aufgabe ist also gut konditioniert da für x>>1 die
> relative konditionszahl sehr klein wird.
Das musst Du nochmal überprüfen.
>
> beim aufgabenteil (b) weiß ich leider nicht wirklich was
> ich zu tun habe. wäre nett wenn mal jemand über
> aufgabenteil (a) drüberschaut und mir evtl. bei
> aufgabenteil (b) helfen könnte.
Bei Aufgabenteil (b) musst Du den Rundungsfehlereinfluß berechnen.
>
> lg
>
> meep
Gruss
MathePower
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