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komplexe zahlen: "Frage"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 So 07.10.2007
Autor: Dagobert

hallo, ich hätte fragen zu zwei aufgaben.

[Dateianhang nicht öffentlich]

bei der ersten, muss ich ja mal alles auf eine seite bringen oder? nur wie vereinfache ich dann da ich ja z und i auf der gleichen seite habe?

bei der zweiten hab ich eigentlich keinen plan wie ich das angehen könnte.

DANKE

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
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komplexe zahlen: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 So 07.10.2007
Autor: Infinit

Hallo Dagobert,
bei der ersten Aufgabe substituierst Du am einfachsten durch [mm] z = x + iy [/mm] und setzt diesen Ausdruck in die linke Seite ein und holst die rechte Seite auch auf die linke Seite rüber. Aufteilen der linken seite nach Real- und Imaginärteil. Real- und Imaginärteil der linken Seite der Gleichung müssen dann jeweils zu Null gesetzt werden und daraus bekommst Du die Lösung der Gleichung.
Bei der zweiten Aufgabe ist es reines Einsetzen, wobei Dir die Korrespondenz
$$ [mm] e^{z} [/mm] = [mm] e^{x + iy} [/mm] = [mm] e^x [/mm] (cos y + i sin y) $$ sicherlich weiterhilft.
Viel Erfolg wünscht
Infinit

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komplexe zahlen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 So 07.10.2007
Autor: Dagobert

zu1. wenn ich dann z = x + iy  für z einsetze, muss ich dann das quadrat und die zwei klammer auf der linken seite ausmultiplizieren. weil da hängt das x dann wieder mit dem i zusammen?

zu 2. dh ich muss $ [mm] e^{z} [/mm] = [mm] e^{x + iy} [/mm] = [mm] e^x [/mm] (cos y + i sin y) $ einsetzen und nachher für z einsetzen?

DANKE

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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 So 07.10.2007
Autor: leduart

Hallo
> zu1. wenn ich dann z = x + iy  für z einsetze, muss ich
> dann das quadrat und die zwei klammer auf der linken seite
> ausmultiplizieren. weil da hängt das x dann wieder mit dem
> i zusammen?

Ja, musst du!
Wenn du komplexe wurzeln ziehen kannst kannst du die Quadr. Gl. aber auch mit pq formel bzw. quadratischer Ergänzung lösen.

>  
> zu 2. dh ich muss [mm]e^{z} = e^{x + iy} = e^x (cos y + i sin y)[/mm]
> einsetzen und nachher für z einsetzen?

So geht es auf jeden Fall. vielleicht ist noch sehr nützlich dass [mm] i=e^{i*\pi/2} [/mm]
Gruss leduart


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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 So 07.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

zu1:
wenn ich für z einsetze erhalte ich dann: [mm] (x+iy)^2 [/mm] + (2-i)(x+iy) = 5i-9 und wenn ich das dann ausmultipliziere [mm] x^2 [/mm] + 2xyi [mm] +i^2y^2 [/mm] + 2x - ix + 2iy -i^2y = 5i-9 oder? Nur wie muss ich dann weitermachen?

zu 2. Nur was setze ich dann für z strich ein? bzw was sollte das ergebnis dann darstellen?

danke! bin leider mit den komplexen zahlen ne komplette null....

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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 07.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Dagobert,

> hallo!
>  
> zu1:
>  wenn ich für z einsetze erhalte ich dann: [mm](x+iy)^2[/mm] +
> (2-i)(x+iy) = 5i-9 und wenn ich das dann ausmultipliziere
> [mm] x^2+ [/mm] 2xyi [mm] +i^2y^2+ [/mm] 2x - ix + 2iy -i^2y = 5i-9 [ok]oder? Nur
> wie muss ich dann weitermachen?

Bedenke noch, dass [mm] $i^2=-1$ [/mm] gilt und bringe alles auf eine Seite.

Dann sortiere den rein reellen Teil und den rein komplexen Teil      
($i$ ausklammern)

Dann hast du sowas: [mm] $(x^2-y^2+2x+y+9)+i\cdot{}(2xy+2y-x-5)=0\, (=0+0\cdot{}i)$ [/mm]

Nun musst du nen Koeffizientenvergleich machen , Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind eindeutig, also hast du ein GS:

(1) [mm] $x^2-y^2+2x+y+9=0$ [/mm]

(2) $2xy+2y-x-5=0$

Das ist aber äußerst unschön zu lösen, halte dich lieber an leduarts Tipp mit der quadratischen Ergänzung..


> zu 2. Nur was setze ich dann für z strich ein? bzw was
> sollte das ergebnis dann darstellen?
>
> danke! bin leider mit den komplexen zahlen ne komplette
> null....

Wenn [mm] $z=x+i\cdot{}y$ [/mm] ist, so ist [mm] $\overline{z}=x\red{-}i\cdot{}y$ [/mm]

LG

schachuzipus

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Mo 08.10.2007
Autor: Dagobert

Ok das erste is soweit mal klar, DANKE dafür.

nur beim 2. wenn ich bei [mm] e^z+ie^z(strich) [/mm] für

z=x+iy und z(strich)=x-iy einsetze, wie muss ich dann weitermachen?

weil ich habe ja z=2,7+1,3i auch definiert?

danke.

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komplexe zahlen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Mo 08.10.2007
Autor: Loddar

Hallo Dagobert!


[mm] $$e^z+i*e^{\overline{z}} [/mm] \ = \ [mm] e^{x+i*y}+i*e^{x-i*y} [/mm] \ = \ [mm] e^x*\left[\cos(y)+i*\sin(y)\right]+i*e^x*\left[\cos(-y)+i*\sin(-y)\right] [/mm] \ = \ [mm] e^x*\left[\cos(y)+i*\sin(y)\right]+e^x*\left[i*\cos(y)+\sin(y)\right] [/mm] \ = \ [mm] e^x*\left[\sin(y)+\cos(y)+i*[\sin(y)+\cos(y)]\right] [/mm] \ = \ ...$$

Und nun aus $z \ := \ 2.7+1.3*i$ die Werte $x \ := \ 2.7$ sowie $y \ := \ 1.3$ einsetzen ...


Gruß
Loddar


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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Mo 08.10.2007
Autor: Dagobert

Danke vielmals! Muss ichs dann mit radiant ausrechen?

zu 1 hätt ich noch eine Frage: weiß nicht genau wie ich jetzt

(1) [mm] x^2-y^2+2x+y+9=0 [/mm]
(2) 2xy+2y-x-5=0

am besten lösen kann? bzw wie das mit der quadratischen ergänzung genau geht. danke

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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Mo 08.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Dagobert,

ja das ist ja der Mist, dieses blöde Gleichungssystem ist kacke zu lösen.

Darum versuche lieber ne quadratische Ergänzung in der Ausgangsgleichung:

Das funktioniert quasi wie im Reellen

Das war: [mm] $z^2+(2-i)z=5i-9$ [/mm]

Also ist der Ansatz:

[mm] $\Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2-\left(\frac{2-i}{2}\right)^2=5i-9$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2-\frac{3-4i}{4}=5i-9$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2=5i-9+\frac{3-4i}{4}=\frac{-33+16i}{4}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{-33+16i}}{2}\right)^2$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow z+\frac{2-i}{2}=\pm\frac{\sqrt{-33+16i}}{2}$ [/mm]

Nun du weiter...

LG

schachuzipus

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Di 09.10.2007
Autor: Dagobert

Und wie könnte man diese zwei Gleichungen jetzt lösen? Also nicht mit der quadratischen Ergänzung durch die Anfangsglg.

(1) [mm] x^2-y^2+2x+y+9=0 [/mm]
(2) 2xy+2y-x-5=0

Danke!

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komplexe zahlen: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Di 09.10.2007
Autor: Loddar

Hallo Dagobert!


Löse die 2. Gleichung z.B. nach $x \ = \ ...$ um und setze in die 1. Gleichung ein.


Gruß
Loddar


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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Di 09.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

wenn ich x umforme komme ich auf x=(5-2y)/(2y-1) das setz ich dann in (1) ein.

wenn ich dann einsetze erhalte ich [mm] [(5-2y)/(2y-1)]^2 -y^2 [/mm] + (10-4y)/(4y-2) + y+ 9 =0 dann vereinfache ich und komme auf 5 - [mm] y^2 [/mm] + (10-4y)/(4y-2) + y+ 9 = 0 ??

stimmt das soweit mal?

danke

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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Di 09.10.2007
Autor: leduart

Hallo
> hallo!
>  
> wenn ich x umforme komme ich auf x=(5-2y)/(2y-1) das setz
> ich dann in (1) ein.
>
> wenn ich dann einsetze erhalte ich [mm][(5-2y)/(2y-1)]^2 -y^2[/mm] +
> (10-4y)/(4y-2) + y+ 9 =0 dann vereinfache ich und komme auf
> 5 - [mm]y^2[/mm] + (10-4y)/(4y-2) + y+ 9 = 0 ??

nein! [mm] [(5-2y)/(2y-1)]^2 [/mm] ist sicher nicht 5 hast du etwa aus Summen gekürzt oder wie kommst du auf 5?
Gruss leduart

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Di 09.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

in der ersten klammer habe ich ja [mm] [(5-2y)/(2y-1)]^2 [/mm] ... wie vereinfach ich das dann am einfachsten. wenn ichs quadriere hab ich zwei quadratische gleichungen.

danke!

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komplexe zahlen: binomische Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Di 09.10.2007
Autor: Loddar

Hallo Dagobert!


> in der ersten klammer habe ich ja [mm][(5-2y)/(2y-1)]^2[/mm] ... wie
> vereinfach ich das dann am einfachsten.

Wende die MBbinomische Formeln an. Anschließend (oder gleich) die Gleichung mit [mm] $(2y-1)^2$ [/mm] multiplizieren.


Gruß
Loddar


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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:44 Di 09.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

also wenn ich ausgehe von:

[mm] [(5-2y)/(2y-1)]^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] + 2*[(5-2y)/(2y-1)] + y + 9 = 0

schreib ichs um auf

[mm] (5-2y)^2/(2y-1)^2 [/mm] + 2*(5-2y)/2*(2y-1) = [mm] y^2 [/mm] - y -9

und komme dann auf [mm] (5-2y)^2 [/mm] + [mm] (5-2y)*(2y-1)^2 [/mm] = [mm] (y^2-y-9)*(2y-1)^2 [/mm] ???

stimmt das?

danke



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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:51 Mi 10.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Dagobert,

da scheint mir aber etwas nicht zu stimmen:

> hallo!
>  
> also wenn ich ausgehe von:
>  
> [mm][(5-2y)/(2y-1)]^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] + 2*[(5-2y)/(2y-1)] + y + 9 = 0
>  
> schreib ichs um auf
>  

[mm] >(5-2y)^2/(2y-1)^2+ [/mm] 2*(5-2y)/2*(2y-1) = [mm] y^2 [/mm] - y -9 [notok]

Wie kommt da beim zweiten Bruch die 2 in den Nenner??

>  
> und komme dann auf [mm](5-2y)^2[/mm] + [mm](5-2y)*(2y-1)^2[/mm] =
> [mm](y^2-y-9)*(2y-1)^2[/mm] ???
>  
> stimmt das?

irgendwie nicht so ganz...

>
> danke
>  

Ich komme auf:

[mm] $\left(\frac{5-2y}{2y-1}\right)^2+2\cdot{}\left(\frac{5-2y}{2y-1}\right)=y^2-y-9$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \frac{5-2y}{2y-1}\cdot{}\left[\frac{5-2y}{2y-1}+2\right]=y^2-y-9$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \frac{5-2y}{2y-1}\cdot{}\left[\frac{5-2y+4y-2}{2y-1}\right]=y^2-y-9$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \frac{5-2y}{2y-1}\cdot{}\frac{2y+3}{2y-1}=y^2-y-9$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow (5-2y)(2y+3)=(y^2-y-9)(2y-1)^2$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow 10y+15-4y^2-6y=4y^4-4y^3+y^2-4y^3+4y^2-y-36y^2+36y-9$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow 4y^4-8y^3-27y^2+31y-24=0$ [/mm]

Also auch nichts wirklich Schönes...

Gruß

schachuzipus


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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Mi 10.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

aso danke (:

nur wie kann man das beispiel dann lösen?  weil [mm] 4y^4-8y^3-27y^2+31y-24=0 [/mm] ist ja wirklich nicht gerade schön..

danke!



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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Mi 10.10.2007
Autor: Martinius

Hallo Dagobert,

von Hand ein Polynom 4. Grades auszurechnen ist sehr mühsam, wenn man die exakten Lösungsformel von Cardano und Ferrari benutzt (ich hab mir mal Excel-Tabellen dafür geschrieben, dann gehts schneller).

Mit Ferrari reduziert sich die Gleichung auf

[mm] (u^{2} [/mm] - [mm] 4,125)^{2} [/mm] = 21,015625     (die 4 Lösungen hat)

mit [mm] y_{1,2,3,4} [/mm] = [mm] u_{1,2,3,4} [/mm] -0,5


Das Näherungsverfahren von Newton ist meistens schneller als die exakten Lösungsformeln, wenn es reelle Lösungen gibt (hier zwei).

Wenn man ein CAS verwenden darf, geht natürlich auch Mathematica o.ä.

Herauskommen tut jedenfalls

[mm] x_{1} [/mm] = -0,3223       [mm] y_{1} [/mm] = 3,4511

[mm] x_{2} [/mm] = -1,6777       [mm] y_{2} [/mm] = -2,4511


mit chemischen Grüßen,

Martinius

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 Mi 10.10.2007
Autor: Dagobert

danke! dh mit den vier ergebnissen ist das beispiel beendet.

aber einfacher kann man es nicht lösen oder? weil eine gleichung vierten grades is schon derb *g*



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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Mi 10.10.2007
Autor: Martinius

Hallo Dagobert,

wie gesagt, wenn Du bei deinem Gleichungssystem das Einsetzungsverfahren anwendest und dann auf eine Gleichung 4. Grades kommst, bleibt dir nur Newton oder Ferrari.

Einfacher ist es natürlich, die 2 Wege zu beschreiten, die Leduart vorgeschlagen hat: quadratische Ergänzung bzw. mit der p,q-Formel die komplexe Wurzel ziehen:

$(z [mm] +1-\bruch{1}{2}i)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{-33}{4}+4i$ [/mm]


LG, Martinius





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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mi 10.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!
dh nach dem ansatz:

$ [mm] \Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2-\left(\frac{2-i}{2}\right)^2=5i-9 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2-\frac{3-4i}{4}=5i-9 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2=5i-9+\frac{3-4i}{4}=\frac{-33+16i}{4} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{-33+16i}}{2}\right)^2 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow z+\frac{2-i}{2}=\pm\frac{\sqrt{-33+16i}}{2} [/mm] $

nur wie kommt man da von der angabe zum ersten schritt? mit dem 2-i/2

bzw wie muss ich dann nach
$ [mm] \Rightarrow z+\frac{2-i}{2}=\pm\frac{\sqrt{-33+16i}}{2} [/mm] $
weiterverfahren?

danke!

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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Mi 10.10.2007
Autor: Martinius

Hallo Dagobert,

um die Wurzel aus einer komplexen Zahl zu ziehen, musst Du die kartesische in die Exponentialform umwandeln:

[mm] \wurzel{\bruch{-33}{4}+4i} [/mm] = [mm] \wurzel{9,1686*e^{i(2,6901+k*2\pi})} [/mm]

mit k = 0,1

LG, Martinius

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

hätte eine frage zu so einem ähnlichen beispiel:

[Dateianhang nicht öffentlich]

da bekomm ich dann raus:

[mm] 4y^4+8y^3+33y^2+99y+28=0 [/mm] stimmt das?

nur ich hab leider kein programm das mir das ausrechnen kann.

danke!

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Do 11.10.2007
Autor: leduart

Hallo
son Programm zur exakten Lösung gibts wohl kaum, d.h. wenn man keine Lösung raten und rausdividieren kann ist man aufgeschmissen. Da der Weg eh zu nix führt hab ich nicht nachgerechnet, das ist für uns ja auch Arbeit!
Du musst eh lernen komplexe Wurzeln zu beherrschen, also nimm die pq Formel bezw. quadratische ergänzung.
Gruss leduart

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

das heisst bei der angabe:

[Dateianhang nicht öffentlich]

ist dann der ansatz:

[mm] (z+(5+i)/2)^2 [/mm] - [mm] ((5+i)/2)^2 [/mm] = 7 -2i?

danke

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Do 11.10.2007
Autor: leduart

Ja!

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

d.h wenn ich das dann weiterumforme, bin ich auf

z + [(5+i)/2] = [mm] \pm \wurzel{52+2i} [/mm] / 2   ??

gekommen..

nur wie gehz dann weiter??

danke!

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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Do 11.10.2007
Autor: leduart

Hallo
Ich hatte dir schon geschrieben wie man ne komplexe Wurzel zieht. Es ist frustig, wenn darauf als Echo ne Frage kommt ohne darauf einzugehen:
Ivh hab unter der Wurzel 51+2i raus, rechne nochmal nach.
Gruss leduart


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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo,
sry =( tut mir leid, nur schön langsam nervt das beispiel gg

wenn ich nur den teil unter der wurzel betrachte, als 51+2i

dann kann ich mir ja r und phi ausrechnen. und muss ich dann die formel von moivre anwenden?

danke

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                
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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Do 11.10.2007
Autor: leduart

JA

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                        
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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

dann bekomme ich für r=51.04 und phi=177,75 raus.

wenn ich das einsetze erhalte ich bei k=0 --> [mm] \wurzel{51,04} [/mm] und 88,5°

und bei k=1 --> [mm] \wurzel{51,04} [/mm] und 268,5° ??

danke!

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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Do 11.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Dagobert,

> hallo!
>  
> dann bekomme ich für r=51.04 [ok] und phi=177,75 [kopfkratz3] raus.

Wie kommst du denn darauf? Wenn du dir mal ganz grob $z=51+2i$ in ein Koordinatensystem eingezeichnet denkst, so ist das doch der Punkt mit 51 Einheiten nach rechts und 2 nach oben, das gibt doch nen winzigen Winkel

Wie hast du's denn gerechnet??

Poste doch bitte immer deine Rechenwege mit, dann müssen wir nicht so mühsam endlos viel selber rechnen und können einfacher und schneller kontrollieren

Es ist doch das Argument: [mm] $arg(z)=\phi=\arctan\left(\frac{2}{51}\right)$ [/mm]

Da erhalte ich [mm] $\phi\approx [/mm] 2,25°$ bzw. [mm] $\phi\approx 0,0125\pi\approx [/mm] 0,039$

Und dann rechne konsequent entweder im Bogenmaß mit [mm] $\pi$ [/mm] oder im Gradmaß mit $°$


Also zeig her deine Rechnung :-)


Gruß

schachuzipus

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

dh phi=2,25° , bekomm ich eh auch raus, 177,75 is die diff. zu 180.

und dann muss ich ihn die moivre formel einsetzen.


= [mm] \wurzel{r} [/mm] +[(cos(2,25+k*360))/2] + isin(2,25+k*360))]

dh bei k= 0 dann z1= [mm] \wurzel{51,04} [/mm] , 1,13°

und bei k=1 dann z2= [mm] \wurzel{51,04} [/mm] , 181,13°

??
bzw wie ich bei dem bsp dann weitermachen muss.

danke!


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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Do 11.10.2007
Autor: schachuzipus

Hi nochmal,

das kapiere ich jetzt auch nicht ganz. Wieso die Moivre-Formel?

Wenn ich das hier noch überblicke im post [guckstduhier] , wolltest du

[mm] $\pm\underbrace{\sqrt{51+2i}}_{=\sqrt{w}}$ [/mm] berechnen.

Dann hast du nun richtig berchnet [mm] $w=51,04\cdot{}e^{i\cdot{}2,25°}$ [/mm]

Also [mm] $=\pm\sqrt{51,04\cdot{}e^{i\cdot{}2,25°}}=\pm\sqrt{51,04}\cdot{}\sqrt{e^{i\cdot{}2,25°}}=\pm 7,144\cdot{}\left(e^{i\cdot{}2,25°}\right)^{\frac{1}{2}}=\pm 7,144\cdot{}e^{i\cdot{}1,125°}$ [/mm]

Das hat leduart doch schon allg. beschrieben in einem der anderen posts


Gruß

schachuzipus

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komplexe zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:13 Do 11.10.2007
Autor: Martinius

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

ich meine, es hat sich am Anfang ein Rechenfehler eingeschlichen.

$z^{2}+(5+i)*z=7-2i$

$\left(z+\bruch{5}{2}+\bruch{i}{2}\right)^{2}-(\bruch{5}{2}+\bruch{i}{2})^{2}= 7-2i$

$\left(z+\bruch{5}{2}+\bruch{i}{2}\right)^{2}-6-\bruch{5}{2}i= 7-2i$

$\left(z+\bruch{5}{2}+\bruch{i}{2}\right)^{2}=13+\bruch{i}{2}= \bruch{52+2i}{4}=13,0096*e^{0,0384+k*2 \pi}$

$z_{1,2} = \bruch{-5}{2}-\bruch{i}{2}\right) \pm (3,606218+i0,069325)$

$z_{1} = -6,1062 - 0,5693i$

$z_{2} = 1,1062 - 0,4307i$


LG, Martinius



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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 Di 09.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

muss ich da auf beiden seiten mit y einsetzen?

hab als ergebnis 15,2 + i*15,2 erhalten ??

danke.

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komplexe zahlen: habe anderes Ergebnis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Di 09.10.2007
Autor: Loddar

Hallo Dagobert!


Ich habe ein anderes Ergebnis erhalten mit [mm] $\approx [/mm] \ 18.32*(1+i)$ .

Hast Du Deinen Taschenrechner auch auf Bogenmaß [mm] $\left[\text{RAD}\right]$ [/mm] gestellt?


Gruß
Loddar


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komplexe zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Di 09.10.2007
Autor: Dagobert

Aja, hab nicht auf rad umgestellt.

DANKE!

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Di 09.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

hätte hier noch eine kurze frage. ich kapier nicht ganz den schritt wie man das -y wegbekommt ( .. [mm] +i*e^x [/mm] * [cos(-y)+i*sin(-y)] ??

danke!

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komplexe zahlen: Symmetrien genutzt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Di 09.10.2007
Autor: Loddar

Hallo Dagobert!


Du meinst, wie die Minuszeichen vor [mm] $\red{-} [/mm] \ y$ plötzlich verschwunden sind?

Da habe ich die Symmetrieeigenschaften der [mm] $\sin$- [/mm] bzw. [mm] $\cos$-Funktion [/mm] ausgenutzt mit:
[mm] $$\sin(-\alpha) [/mm] \ = \ [mm] -\sin(\alpha)$$ [/mm]
[mm] $$\cos(-\alpha) [/mm] \ = \ [mm] +\cos(\alpha)$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:43 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

ich hätte eine frage zu einem ähnlichen beispiel. und zwar:

[Dateianhang nicht öffentlich]

wenn ich hier für z=x+iy einsetze und für z(strich)=x-iy wie kann ich es dann vereinfachen. denn ich hab ja die formel für

$ [mm] e^z+i\cdot{}e^{\overline{z}} [/mm] \ = \ [mm] e^{x+i\cdot{}y}+i\cdot{}e^{x-i\cdot{}y} [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\left[\cos(y)+i\cdot{}\sin(y)\right]+i\cdot{}e^x\cdot{}\left[\cos(-y)+i\cdot{}\sin(-y)\right] [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\left[\cos(y)+i\cdot{}\sin(y)\right]+e^x\cdot{}\left[i\cdot{}\cos(y)+\sin(y)\right] [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\left[\sin(y)+\cos(y)+i\cdot{}[\sin(y)+\cos(y)]\right] [/mm] \ = \ ... $

kann ich dann das i vorm ...+ [mm] i*e^x [/mm] einfach weglassen?

danke!

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Do 11.10.2007
Autor: leduart

Hallo
[mm] e^{2z}+e^{\overline{z}} [/mm]
ist doch nicht
[mm] e^z+i\cdot{}e^{\overline{z}} [/mm] ?
sondern [mm] e^{2x}*e^{i*2y}-e^x*e^{-i*\phi} [/mm]
du solltest das mal graphisch auftragen!
[mm] e^{ir} [/mm] liegt immer auf dem Einheitskreis, [mm] \phi [/mm] gibt den Winkel zur reellen Achse, [mm] e^{r} [/mm] ist reell, gibt also den Betrag von z.
d.h. [mm] e^{2x+2iy} [/mm] at die Länge e^2x und den Winkel 2y zur x-Achse.
Wenn man sich das veranschaulicht, kann man seine Rechnungen besser kontrollieren.
Natürlich kann man in ner Rechnung bei [mm] i*e^x [/mm]  i nicht weglassen. denn [mm] i*e^x [/mm] ist rein imaginär, [mm] e^x [/mm] rein reell.
due kannst aber natürlich realteil und Imafinärteil eizeln schreiben und dabei natürlich den Imaginärteil ohne i hinschreiben, meinst du das?
Gruss leduart
Gruss leduart


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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

also ist [mm] $e^{2z}+e^{\overline{z}}$ [/mm] $ [mm] e^{2x}\cdot{}e^{i\cdot{}2y}-e^x\cdot{}e^{-i\cdot{}\phi} [/mm] $

wenn ich jetz für $ [mm] e^{2z}+e^{\overline{z}} [/mm] $ einsetze erhalte ich ja

e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) oder?

aber wie vereinfache ich das jetzt da ich ja vorm zweiten e kein i haben.

kann ich das dann einfach so anschreiben?

e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) = [mm] e^x [/mm] (cosy+isiny) + [mm] e^x [/mm] (cos-y+sin-y) ?

danke


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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Do 11.10.2007
Autor: leduart

Hallo
> hallo!
>  
> also ist [mm]e^{2z}+e^{\overline{z}}[/mm]
> [mm]e^{2x}\cdot{}e^{i\cdot{}2y}-e^x\cdot{}e^{-i\cdot{}\phi}[/mm]

das [mm] \Phi [/mm] muss ein y sein!

> wenn ich jetz für [mm]e^{2z}+e^{\overline{z}}[/mm] einsetze erhalte
> ich ja
>
> e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) oder?
>  
> aber wie vereinfache ich das jetzt da ich ja vorm zweiten e
> kein i haben.
>  
> kann ich das dann einfach so anschreiben?
>  
> e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) = [mm]e^x[/mm] (cosy+isiny) + [mm]e^x[/mm]
> (cos-y+sin-y) ?

etwas sorgfältiger bitte, wo bleibt die 2?
e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) = [mm]e^{2x}[/mm] (cosy+isiny) + [mm]e^x*(cosy-isiny)[/mm]

Gruss leduart

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!
danke! kann ich da jetzt gleich einsetzen (für x & y) und nachher zusammenfassen oder muss ich das vorher noch vereinfachen?
danke

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Do 11.10.2007
Autor: leduart

Hallo
du löst nach z auf, nicht x+iy!
bis da steht z [mm] =a\pm\wurzel{c+d} [/mm] a,b,c komplex. dann die Wurzel ziehen indem man c+d = [mm] A*e^{i/phi} [/mm] schreibt,und [mm] \wurzel{c+d}=\wurzel{A}*e^{i\phi/2} [/mm]  .
gruss leduart

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

wenn ich von der gleichung

[mm] e^2(x+iy) [/mm] - [mm] e^x-iy [/mm] = e^2x(cosy+isiny) + [mm] e^x(cosy+isiny) [/mm] ausgehe.

wie muss ich da weitermachen? weil die werte für x und y hab ich ja gegeben mit z=2,7+1,3i. kann ich da jetzt nicht einfach einsetzen?

danke!

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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Do 11.10.2007
Autor: leduart

Hallo
> hallo!
>  
> wenn ich von der gleichung
>  
> [mm]e^2(x+iy)[/mm] - [mm]e^x-iy[/mm] = e^2x(cosy+isiny) + [mm]e^x(cosy+isiny)[/mm]
> ausgehe.
>  
> wie muss ich da weitermachen? weil die werte für x und y
> hab ich ja gegeben mit z=2,7+1,3i. kann ich da jetzt nicht
> einfach einsetzen?

überprüf deine Gleichungen, die sind noch falsch, dann einsetzen was sonst?
Gruss leduart

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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo.

als gleichung habe ich:

e^2z - [mm] e^z(strich) [/mm] = e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) =  (e^2x) * (cosy+isiny) +  [mm] (e^x) [/mm] * (cosy-isiny) oder?

und dann für x & y einsetzen komme ich auf:

-4,47 + 4,09i



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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Do 11.10.2007
Autor: leduart

Hallo
> hallo.
>  
> als gleichung habe ich:
>  
> e^2z - [mm]e^z(strich)[/mm] = e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) =  (e^2x) *
> (cosy+isiny) +  [mm](e^x)[/mm] * (cosy-isiny) oder?

ODER!
[mm] e^{(2x+i*2y)} [/mm] wo bleiben bei dir die 2 bei y?
Gruss leduart  


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komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Do 11.10.2007
Autor: Dagobert

hallo!

welchen 2er bei y meinst du?

e^2x * (cosy+isiny) + [mm] e^x [/mm] * (cosy-isiny)

meinst du vor der ersten klammer?

danke!

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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Do 11.10.2007
Autor: schachuzipus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Dagobert,

deine Umformung ist falsch.

Mache es entweden wie leduart sagt:

$e^{2(x+iy)}-e^{x-iy}=e^{2x+i2y}-e^{x-iy}$ usw.

oder "auf deine Art" ;-)

$e^{2(x+iy)}-e^{x-iy}=e^{x+iy}\cdot{}e^{x+iy}-e^{x-iy}=e^x\cdot}e^{iy}\cdot{}e^x\cdot{}e^{iy}-e^x\cdot{}e^{-iy}$

$=e^{2x}\cdot{}\left[\cos(y)+i\sin(y)\right]\red{^2}-e^x\cdot{}\left[\cos(-y)+i\sin(-y)\right]=...$


Gruß

schachuzipus

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komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 So 07.10.2007
Autor: leduart

Hallo
Das Ergebnis der 2. Frage musst du wohl in der form a+ib oder [mm] r*e^{i*\varphi} [/mm] angeben.
Gruss leduart


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