komplexe Reihe konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 So 03.04.2011 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich häng hier an einer Reihe und weiß nicht wie ich zeigen soll, dass diese konvergiert.
Das hier ist die Reihe: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{i^{n}}{n}.
[/mm]
Quotienten und Wurzelkriterium führen hier leider nicht zum Ziel. Ich denke mal, dass ich den Ausdruck irgendwie zerlegen muss, aber ich weiß nicht wie.
Vielen Dank schonmal
und Lieben Gruß
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 So 03.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
Ich denke es reicht hier wenn man für alle vier Fälle von [mm] ($i^{n}$) [/mm] zeigt, dass es konvergiert.
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 So 03.04.2011 | | Autor: | Kueken |
Danke dir für deine Antwort!
ok, also einfach nur ne Fallunterscheidung?
was ist, wenn das nicht geht? (in der Musterlösung steht nur der Hinweis: zerlegen in Real- und Imaginärteil) Ich würde das gerne einmal gemacht haben, damit da an Reihen kommen kann was will.
LG
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:10 So 03.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
ich verstehe deine Musterlösung nicht!
Aber i ist in Polarform: $1 [mm] cis(\frac{\pi}{2})$ [/mm]
dann ist [mm] i^{n}: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1cis(\frac{n\pi}{2})}{n}$
[/mm]
Dann musst du nur noch zeigen dass (cos(n)/n) und (isin(n)/n) auch 0 sind, glaube ich!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:40 So 03.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Deine komplexe Reihe konvergiert ja genau dann, wenn die Reihe der Realteile und der Imaginärteile beide konvergieren. Deshalb sollst du das aufteilen. Nun musst du dir Gedanken machen, wie du [mm] i^n [/mm] in die Form a+bi pressen kannst. Dafür kannst du z.B. die Moivre-Formel nehmen.
Dann hast du wegen [mm] i=e^{i*\frac{\pi}{2}}=cos(\frac{\pi}{2})+i*sin(\frac{\pi}{2}): [/mm]
[mm] i^n=e^{i*\frac{\pi}{2}*n}=cos(\frac{\pi}{2}*n)+i*sin(\frac{\pi}{2}*n) [/mm] (dann eben noch beide Seiten durch n teilen).
Nun musst du schauen:
Konvergieren [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{cos(\frac{\pi}{2}*n)}{n} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{sin(\frac{\pi}{2}*n)}{n}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 So 03.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Ergänzend zu Teufels Antwort.
Betrachte die Terme [mm] $\cos\left(\bruch{\pi}{2}*n\right)$ [/mm] bzw. [mm] $\sin\left(\bruch{\pi}{2}*n\right)$ [/mm] für die einzelnen $n_$-Werte.
Dabei sollten sich die beiden Terme drastisch vereinfachen, so dass nur noch eine Reihe verbleibt, welche mit Herrn Leibniz behandelt werden kann.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 03.04.2011 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
danke für eure Antworten!
Das mit Umformung muss ich mir merken... Daran denke ich nie :)
ok, also in Polarform bringen. Und kann ich dann nicht schon direkt aus dem sinus und cosinus schließen, dass ich eine alternierende Folge im Zähler habe? Also brauche ich eine Begründung oder darf man das als bekannt voraussetzen?
Lieben Gruß
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst halt angeben, für welche n [mm] cosn\pi [/mm] und [mm] sin\n\pi [/mm] jewils +1 oder -1 sind.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 So 03.04.2011 | | Autor: | Kueken |
ok, danke dir!
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