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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Fr 16.09.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die die komplexen Lösungen der Gleichung [mm] z^{3}-1=0 [/mm] |
Hallo,
erst einmal in der komplexen Zahlenebene ist doch
[mm] e^{i0\pi}=1
[/mm]
[mm] e^{i\bruch{1}{2}\pi}=i
[/mm]
[mm] e^{i\bruch{3}{2}\pi}=-i
[/mm]
und [mm] e^{i\pi}=-1 [/mm] oder?
Jetzt mein Rechenweg:
[mm] z^{3}=1
[/mm]
[mm] z=\wurzel[3]{1}\gdw \wurzel[3]{e^{i0\pi}}=e^{i\bruch{0}{3}\pi}=1 [/mm] (1.Lösung)
[mm] z=\wurzel[3]{e^{i(0\pi}+2k\pi)} k\varepsilon \{0,1,2\}
[/mm]
[mm] =e^{i\bruch{2}{3}\pi} [/mm] (2.Lösung)
3.Lösung [mm] e^{i\bruch{4}{3}\pi}
[/mm]
Kann ich das so machen?
mfg
RWBK
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Hallo RWBK,
> Bestimmen Sie die die komplexen Lösungen der Gleichung
> [mm]z^{3}-1=0[/mm]
>
> Hallo,
>
> erst einmal in der komplexen Zahlenebene ist doch
>
> [mm]e^{i0\pi}=1[/mm]
> [mm]e^{i\bruch{1}{2}\pi}=i[/mm]
> [mm]e^{i\bruch{3}{2}\pi}=-1[/mm]
> und [mm]e^{i\pi}=-1[/mm] oder?
>
> Jetzt mein Rechenweg:
> [mm]z^{3}=1[/mm]
> [mm]z=\wurzel[3]{1}\gdw \wurzel[3]{e^{i0\pi}}=e^{i\bruch{0}{3}\pi}=1[/mm]
> (1.Lösung)
> [mm]z=\wurzel[3]{e^{i(0\pi}+2k\pi)} k\varepsilon \{0,1,2\}[/mm]
>
Besser:
[mm]z=\wurzel[3]{e^{i(0\pi+2k\pi)}}, \ k\in \{0,1,2\}[/mm]
> [mm]=e^{i\bruch{2}{3}\pi}[/mm] (2.Lösung)
> 3.Lösung [mm]e^{i\bruch{4}{3}\pi}[/mm]
>
> Kann ich das so machen?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> mfg
> RWBK
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Fr 16.09.2011 | | Autor: | RWBK |
DANKE
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