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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | | Lösen Sie folgende Gleichung: [mm] i-\underline{z}+\bruch{1}{\underline{z}}=2 [/mm] |
Hallo Leute,
ich bin nun so vorgegangen:
[mm] \underline{z}i-\underline{z}²+1=2\underline{z}
[/mm]
[mm] -\underline{z}²+\underline{z}i+1=2\underline{z}
[/mm]
[mm] -\underline{z}²-2\underline{z}+\underline{z}i+1=0
[/mm]
[mm] -\underline{z}²+\underline{z}(-2+i)+1=0
[/mm]
[mm] \underline{z}²-\underline{z}(-2+i)-1=0
[/mm]
[mm] \underline{z}²+(2-i)\underline{z}-1=0
[/mm]
[mm] \underline{z}_{1,2}=-\bruch{2-i}{2}\pm\wurzel{(\bruch{2-i}{2})²+1}
[/mm]
[mm] \underline{z}_{1,2}=-1+0,5i\pm\wurzel{1,75-i}
[/mm]
So nun schaue ich mir die Wurzel genauer an: Sie besitzt zwei Lösungen.
[mm] 1,75-i=2,02e^{-29,74°}
[/mm]
[mm] w_{0}=\wurzel{2,02}[cos(\bruch{-29,74°}{2})+i*sin(\bruch{-29,74}{2})]=1,37-0,365i
[/mm]
[mm] w_{1}=\wurzel{2,02}[cos(\bruch{-29,74°+360°}{2})+i*sin(\bruch{-29,74+360°}{2})]=-1,37+0,365i
[/mm]
Somit gilt:
[mm] z_{1}=0,37+0,135i
[/mm]
[mm] z_{2}=-2,373+0,86i
[/mm]
[mm] z_{3}=-2,373+0,86i
[/mm]
[mm] z_{4}=0,37+0,135i
[/mm]
Man sieht, dass zwei Lösungen jeweils gleich sind, muss aber nicht immer so sein?!
Ist das so richtig gerechnet?
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> Lösen Sie folgende Gleichung:
> [mm]i-\underline{z}+\bruch{1}{\underline{z}}=2[/mm]
> Hallo Leute,
> ich bin nun so vorgegangen:
> [mm]\underline{z}i-\underline{z}²+1=2\underline{z}[/mm]
> [mm]-\underline{z}²+\underline{z}i+1=2\underline{z}[/mm]
> [mm]-\underline{z}²-2\underline{z}+\underline{z}i+1=0[/mm]
> [mm]-\underline{z}²+\underline{z}(-2+i)+1=0[/mm]
> [mm]\underline{z}²-\underline{z}(-2+i)-1=0[/mm]
> [mm]\underline{z}²+(2-i)\underline{z}-1=0[/mm]
>
> [mm]\underline{z}_{1,2}=-\bruch{2-i}{2}\pm\wurzel{(\bruch{2-i}{2})²+1}[/mm]
> [mm]\underline{z}_{1,2}=-1+0,5i\pm\wurzel{1,75-i}[/mm]
>
> So nun schaue ich mir die Wurzel genauer an: Sie besitzt
> zwei Lösungen.
> [mm]1,75-i=2,02e^{-29,74°}[/mm]
>
> [mm]w_{0}=\wurzel{2,02}[cos(\bruch{-29,74°}{2})+i*sin(\bruch{-29,74}{2})]=1,37-0,365i[/mm]
>
> [mm]w_{1}=\wurzel{2,02}[cos(\bruch{-29,74°+360°}{2})+i*sin(\bruch{-29,74+360°}{2})]=-1,37+0,365i[/mm]
>
> Somit gilt:
> [mm]z_{1}=0,37+0,135i[/mm]
> [mm]z_{2}=-2,373+0,86i[/mm]
> [mm]z_{3}=-2,373+0,86i[/mm]
> [mm]z_{4}=0,37+0,135i[/mm]
>
> Man sieht, dass zwei Lösungen jeweils gleich sind, muss
> aber nicht immer so sein?!
>
> Ist das so richtig gerechnet?
>
Die Lösungen stimmen (bis auf kleine Rundungsfehler).
Ich bekomme(mit 3 Nachkommastellen):
[mm]z_{1}=0,372+0,136i[/mm]
[mm]z_{2}=-2,372+0,864i[/mm]
Da es sich um eine Gleichung 2.Grades in [mm] \IC [/mm] handelt,
kann sie nicht mehr als zwei Lösungen haben.
Nur bei Gleichungen höheren Grades (abgesehen von
trivialen Fällen wie etwa z=z) könnten mehr
Lösungen auftreten.
al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Owen |
Alles klar, vielen Dank.
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