komplexe Fourier-Reihe von x < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie die komplexe Fourier-Reihe der Funktion F(x)=x für [mm] 0 |
Guten Tag,
die Fourier-Reihe von f(x)=x ist klar, das bekomme ich hin. Mit
f(x) [mm] \sim\summe_{k=-\infty}^{\infty} C_{k} [/mm] * [mm] e^{j\bruch{2kpix}{p}}
[/mm]
[mm] C_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{p}{f(x) dx} e^{-j\bruch{2kpix}{p}}
[/mm]
komme ich auf
f(x) [mm] \sim\summe_{k=-\infty}^{\infty} [/mm] - [mm] \bruch{j}{k} [/mm] * [mm] e^{-jkx} [/mm]
ist das soweit korrekt?
Was ich nicht verstehe, was hat es mit dem [mm] f(x)=f(x+2k\pi) [/mm] für alle ganzen Zahlen k auf sich?
Kann mir jemand ein Denkanstoß geben.
Danke Euch.
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Do 18.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die komplexe Fourier-Reihe der Funktion
> F(x)=x für [mm]0
> Zahlen k.
> Guten Tag,
> die Fourier-Reihe von f(x)=x ist klar, das bekomme ich
> hin. Mit
> f(x) [mm]\sim\summe_{k=-\infty}^{\infty} C_{k}[/mm] *
> [mm]e^{j\bruch{2kpix}{p}}[/mm]
>
> [mm]C_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{p}[/mm] * [mm]\integral_{0}^{p}{f(x) dx} e^{-j\bruch{2kpix}{p}}[/mm]
>
> komme ich auf
> f(x) [mm]\sim\summe_{k=-\infty}^{\infty}[/mm] - [mm]\bruch{j}{k}[/mm] *
> [mm]e^{-jkx}[/mm]
> ist das soweit korrekt?
> Was ich nicht verstehe, was hat es mit dem “
> [mm]f(x)=f(x+2k\pi)[/mm] für alle ganzen Zahlen k „ auf sich?
Hallo,
ich schätze mal, die Funktion f (wie auch immer sie im Detail beschaffen sein mag) soll periodisch sein mit der kleinsten Periode [mm] 2\pi. [/mm]
Gruß Abakus
> Kann mir jemand ein Denkanstoß geben.
> Danke Euch.
> Daniel
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo schlimmer_finger,
> Berechnen Sie die komplexe Fourier-Reihe der Funktion
> F(x)=x für [mm]0
> Zahlen k.
> Guten Tag,
> die Fourier-Reihe von f(x)=x ist klar, das bekomme ich
> hin. Mit
> f(x) [mm]\sim\summe_{k=-\infty}^{\infty} C_{k}[/mm] *
> [mm]e^{j\bruch{2kpix}{p}}[/mm]
>
> [mm]C_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{p}[/mm] * [mm]\integral_{0}^{p}{f(x) dx} e^{-j\bruch{2kpix}{p}}[/mm]
>
> komme ich auf
> f(x) [mm]\sim\summe_{k=-\infty}^{\infty}[/mm] - [mm]\bruch{j}{k}[/mm] *
> [mm]e^{-jkx}[/mm]
> ist das soweit korrekt?
Für die Koeffizienten [mm]C_{k}, k \not= 0, \ k \in \IZ[/mm] erhalte ich:
[mm]C_{k}=\bruch{j}{k}[/mm]
Außerdem ist
[mm]C_{0}=\bruch{1}{2\pi} * \integral_{0}^{2\pi}{x*e^{-j*0*x} \ dx}=\bruch{1}{2\pi} * \integral_{0}^{2\pi}{x \ dx}[/mm]
zu berechnen.
> Was ich nicht verstehe, was hat es mit dem
> [mm]f(x)=f(x+2k\pi)[/mm] für alle ganzen Zahlen k auf sich?
> Kann mir jemand ein Denkanstoß geben.
> Danke Euch.
> Daniel
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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vielen Dank, für die Antwort,
[mm] C_{k}=\bruch{j}{k} [/mm] ist natürlich richtig, hatte einen kleinen Fehler eingebaut.
warum ist [mm] C_{0} [/mm] zu bestimmen?
[mm] C_{0}=\pi [/mm]
wie komme ich mit dem [mm] f(x+2k\pi) [/mm] weiter? Müsste ich da k=2n seten und dann ein [mm] C_{2n} [/mm] berechnen?
Vielen Dank.
Grüße
Daniel
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Hallo schlimmer_finger,
-> vielen Dank, für die Antwort,
>
> [mm]C_{k}=\bruch{j}{k}[/mm] ist natürlich richtig, hatte einen
> kleinen Fehler eingebaut.
>
> warum ist [mm]C_{0}[/mm] zu bestimmen?
Nun, weil
[mm]C_{k}=\bruch{j}{k}[/mm]
nicht für k=0 gilt.
> [mm]C_{0}=\pi[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wie komme ich mit dem [mm]f(x+2k\pi)[/mm] weiter? Müsste ich da k=2n
> seten und dann ein [mm]C_{2n}[/mm] berechnen?
Wie abakus in einem anderen Post schrieb, ist das
mitunter die Schreibweise für periodische Funktionen.
Hier mußt Du also nix weiter berechnen.
Jetzt kannst Dun natürlich noch die komplexe Fourierreihe hinschreiben.
>
> Vielen Dank.
> Grüße
> Daniel
Gruß
MathePower
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Dann lautet meine Fourier-Reihe?
[mm] f(x)\sim\summe_{k=-\infty}^{\infty} \bruch{j}{k} [/mm] * [mm] e^{-jkx} [/mm] für [mm] k\not=0
[/mm]
und
[mm] f(x)\sim\summe_{k=-\infty}^{\infty} \pi [/mm] * [mm] e^{-jkx} [/mm] für k=0
Vielen Dank für Deine Geduld und Hilfe, hat mir auf jeden Fall weiter geholfen.
Super
Grüße
Daniel
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Hallo schlimmer_finger,
> Dann lautet meine Fourier-Reihe?
>
> [mm]f(x)\sim\summe_{k=-\infty}^{\infty} \bruch{j}{k}[/mm] *
> [mm]e^{-jkx}[/mm] für [mm]k\not=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]f(x)\sim\summe_{k=-\infty}^{\infty} \pi[/mm] * [mm]e^{-jkx}[/mm] für
> k=0
Die komplexe Fourierreihe lautet:
[mm]f\left(x\right)=\pi+\summe_{k=-\infty, \ k\not= 0}^{\infty}{\bruch{j}{k}e^{j*k*x}}[/mm]
>
> Vielen Dank für Deine Geduld und Hilfe, hat mir auf jeden
> Fall weiter geholfen.
> Super
> Grüße
> Daniel
Gruß
MathePower
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