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| Aufgabe | 1. Es sei [mm] U\subset\IC [/mm] offen und [mm] d:U\to\IC [/mm] sei eine Abbildung. f heißt komplex diffbar im Punkt [mm] z_{0}\inU [/mm] falls der Grenzwert
[mm] \limes_{{h\rightarrow\0},{h\in\IC}} \bruch{f(z_{0} +h)-f(z_{0})}{h}
[/mm]
existiert.
Zeigen Sie: f ist genau dann komplex differenzierbar, wenn es eine komplex lineare Abbildung [mm] l:\IC\to\IC [/mm] gibt, so dass
[mm] \limes_{{h\rightarrow\0},{h\in\IC}} \bruch{f(z_{0} +h)-f(z_{0})-l(h)}{h}=0 [/mm] ist.
2. Es sei [mm] U\subset\IC [/mm] offen und [mm] f:U\to\IC [/mm] sei eine Funktion. Wir betrachten die Funktion [mm] g(x)=\vektor{Re f(x_{1}+ix_{2}) \\ Im f(x_{1}+ix_{2})}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die der Funktion [mm] f(z)=\overline{z} [/mm] zugeordnete Funktion g.
b) Zeigen Sie: Ist f als Funktion [mm] \IC\to\IC [/mm] diffbar, dann ist auch g als Funktion [mm] \IR^{2}\to\IR^{2} [/mm] diffbar.
c) Gilt auch die Umkehrung? Belegen Sie ihre Antwort!
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Hallo zusammen!
Ich bearbeite gerade diese Aufgabe und komme nicht ganz weiter.
Bei 1. habe ich Probleme mit dem l(h). Ist das die Ableitung von f?
Bei 2. verstehe ich nicht ganz was gemeint ist. Soll ich g(x) komplex konjugiert betrachten?
Ich freue mich über jede Hilfe.
PS. Unter dem limes soll beide Male h gegen 0 stehen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Di 09.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> 1. Es sei [mm]U\subset\IC[/mm] offen und [mm]d:U\to\IC[/mm] sei eine
> Abbildung. f heißt komplex diffbar im Punkt [mm]z_{0}\inU[/mm] falls
> der Grenzwert
> [mm]\limes_{{h\rightarrow\0},{h\in\IC}} \bruch{f(z_{0} +h)-f(z_{0})}{h}[/mm]
>
> existiert.
> Zeigen Sie: f ist genau dann komplex differenzierbar, wenn
> es eine komplex lineare Abbildung [mm]l:\IC\to\IC[/mm] gibt, so
> dass
> [mm]\limes_{{h\rightarrow\0},{h\in\IC}} \bruch{f(z_{0} +h)-f(z_{0})-l(h)}{h}=0[/mm]
> ist.
>
> 2. Es sei [mm]U\subset\IC[/mm] offen und [mm]f:U\to\IC[/mm] sei eine
> Funktion. Wir betrachten die Funktion [mm]g(x)=\vektor{Re f(x_{1}+ix_{2}) \\ Im f(x_{1}+ix_{2})}.[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die der Funktion [mm]f(z)=\overline{z}[/mm]
> zugeordnete Funktion g.
>
> b) Zeigen Sie: Ist f als Funktion [mm]\IC\to\IC[/mm] diffbar, dann
> ist auch g als Funktion [mm]\IR^{2}\to\IR^{2}[/mm] diffbar.
>
> c) Gilt auch die Umkehrung? Belegen Sie ihre Antwort!
>
> Hallo zusammen!
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> Ich bearbeite gerade diese Aufgabe und komme nicht ganz
> weiter.
> Bei 1. habe ich Probleme mit dem l(h). Ist das die
> Ableitung von f?
Ist f in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar, so ist
$l(h) = [mm] f'(z_0)*h$
[/mm]
> Bei 2. verstehe ich nicht ganz was gemeint ist. Soll ich
> g(x) komplex konjugiert betrachten?
Mit [mm] $z=x_1+ix_2$ [/mm] ist $f(z) = [mm] x_1-ix_2$ [/mm] und somit (mit $x = [mm] (x_1,x_2))$:
[/mm]
$g(x) = [mm] \vektor{x_1 \\ -x_2}$
[/mm]
FRED
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> Ich freue mich über jede Hilfe.
>
> PS. Unter dem limes soll beide Male h gegen 0 stehen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Bei 1. habe ich Probleme mit dem l(h). Ist das die
> > Ableitung von f?
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> Ist f in [mm]z_0[/mm] komplex differenzierbar, so ist
>
> [mm]l(h) = f'(z_0)*h[/mm]
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Mit deinen Tipps kann ich auch gut weiterarbeiten. Ich verstehe nur nicht, wie du auf
[mm] l(h)=f'(z_{0})\*h
[/mm]
gekommen bist.
Kannst du mir das wohl noch erklären?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:55 Mi 10.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist f in [mm] z_0 [/mm] komplex diffbar, so gilt doch:
[mm] \bruch{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} \to f'(z_0) [/mm] für z [mm] \to z_0.
[/mm]
Das ist aber gleichbedeutend mit
[mm] \bruch{f(z_0+h)-f(z_0)-f'(z_0)*h}{h} \to [/mm] 0 für z [mm] \to z_0.
[/mm]
FRED
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