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komplette diskussion: überprüfen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 So 07.01.2007
Autor: matheloserin

Aufgabe
Komplette Diskussion von f(x)= x-1-lnx
-Definitionsbereich
-Symmetrie
-Verhalten gegen +/- unendlich
-schnittstellen mit den achsen
-extrema
-wendestellen

hallo leute....ich würde gerne wissen ob ich meine diskussion richtig gemacht habe....ob mir das einer vielleicht kontollieren kann...und vielleicht bei einigen schwierigkeiten helfen könnte...
also...
1.) Symmetrie: also ich glaube das hier eine punktsymmetrie vorliegt, da
f(x)=-f(x) sein muss, d.h. x-1-lnx=-(x-1-lnx) und das stimmt...

2.)Definitionsbereich: [mm] D=\IR, [/mm] weil man ja alle zahlen einfügen kann oder?

3.)Verhalten gegen [mm] +/-\infty: [/mm]
bei diesem unterpunkt bin ich mir total unsciher, weil ich das nicht richtig kann...also...
wenn [mm] x\to+\infty [/mm] , dann geht [mm] f(x)\to+\infty [/mm]
und da hab ich ne frage...ich kann das irgendwie nicht gegen [mm] -\infty [/mm] machen....hier vllt ne kleine hilfe...

4.)Schnittstellen mit den Achsen:
x-achse: f(x)= x-1-lnx= 0  |+1
                       x   -lnx= 1  | e
                [mm] e^x [/mm] - e^lnx= [mm] e^1 [/mm]
                [mm] e^x [/mm] -        x= [mm] e^1 [/mm]            Wie krieg ich das x aus dem e??
ich komm hier irgendwie nicht weiter....

y-achse: f(0)= 0-1-ln0
                    = -1-ln0
                    = -1            oder??

5.)Extrema:
f(x)= x-1-lnx
f'(x)= 1- 1/x= 0           hoffe ich...stimmt das?
               x=1
f''(x)= [mm] -1/x^2 [/mm]           stimmt das?
f''(1)= [mm] -1/1^2= [/mm] -1
also Hochpunkt bei (1/0)

6.)Wendestellen:
f''(x)= [mm] -1/x^2= [/mm] 0                    und irgendwie geht das nicht...also keine wendestellen oder???

ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte!!danke

        
Bezug
komplette diskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 So 07.01.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> Komplette Diskussion von f(x)= x-1-lnx
>  -Definitionsbereich
>  -Symmetrie
>  -Verhalten gegen +/- unendlich
>  -schnittstellen mit den achsen
>  -extrema
>  -wendestellen
>  hallo leute....ich würde gerne wissen ob ich meine
> diskussion richtig gemacht habe....ob mir das einer
> vielleicht kontollieren kann...und vielleicht bei einigen
> schwierigkeiten helfen könnte...
>  also...
>  1.) Symmetrie: also ich glaube das hier eine
> punktsymmetrie vorliegt, da
>  f(x)=-f(x) sein muss, d.h. x-1-lnx=-(x-1-lnx) und das
> stimmt...
>  
> 2.)Definitionsbereich: [mm]D=\IR,[/mm] weil man ja alle zahlen
> einfügen kann oder?


Nein, der Ln ist für [mm] x\le0 [/mm] nicht definiert, was auch die Symmetrie hinfällig macht.

>  
> 3.)Verhalten gegen [mm]+/-\infty:[/mm]
>  bei diesem unterpunkt bin ich mir total unsciher, weil ich
> das nicht richtig kann...also...
>   wenn [mm]x\to+\infty[/mm] , dann geht [mm]f(x)\to+\infty[/mm]
>  und da hab ich ne frage...ich kann das irgendwie nicht
> gegen [mm]-\infty[/mm] machen....hier vllt ne kleine hilfe...

Die Funktion ist auf [mm] \IR^{+} [/mm] definiert, also ist die Betrachtung gegen [mm] -\infty [/mm] nicht möglich.

>  
> 4.)Schnittstellen mit den Achsen:
>  x-achse: f(x)= x-1-lnx= 0  |+1
>                         x   -lnx= 1  | e
>                  [mm]e^x[/mm] - e^lnx= [mm]e^1[/mm]
>                  [mm]e^x[/mm] -        x= [mm]e^1[/mm]            Wie krieg
> ich das x aus dem e??
>  ich komm hier irgendwie nicht weiter....

Also:
x-1-ln(x)=0
[mm] \gdw [/mm] x-1=ln(x)
[mm] \gdw e^{x-1}=e^{ln(x)} [/mm]
[mm] \gdw e^{x-1}=x [/mm]
[mm] \gdw e^{x}*e^{-1}=x [/mm]
[mm] \gdw e^{x}=e*x [/mm]
Und das geht nur, wenn x=1

>  
> y-achse: f(0)= 0-1-ln0
>                      = -1-ln0
>                      = -1            oder??

Gibts nicht, da [mm] D=\\IR^{+}/\{0\} [/mm]

>  
> 5.)Extrema:
>  f(x)= x-1-lnx
>  f'(x)= 1- 1/x= 0           hoffe ich...stimmt das?

                 x=1

Korrekt

>  f''(x)= [mm]-1/x^2[/mm]           stimmt das?

Nicht ganz: [mm] f'(x)=1-x^{-1} [/mm]
Also [mm] f''(x)=-(-\bruch{1}{x²})=\bruch{1}{x²} [/mm]

>  f''(1)= [mm]-1/1^2=[/mm] -1
>  also Hochpunkt bei (1/0)

Damit [mm] f''(1)>0\Rightarrow [/mm] Tiefpunkt (1/0)

>  
> 6.)Wendestellen:
>  f''(x)= [mm]-1/x^2=[/mm] 0                    und irgendwie geht
> das nicht...also keine wendestellen oder???

Korrekt

>  
> ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen
> könnte!!danke


Hier noch das Bild, []Funkyplot lässt grüssen.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Marius

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Bezug
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