kompl. Zahlen, Parallelogramm < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 So 19.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Aus lauter Streichhölzern gleicher Länge wurde ein Parallelogramm gelegt. In die Diagonalen passen exakt 7 bzw. 9 Streichhölzer. Wie groß ist der Umfang des Parallelogramms? |
Hallo Zusammen,
mit Hilfe der komplexen Zahlen kann man ja beweisen, dass für die Diagonalen und Seitenlänge folgendes gilt:
e² + f² = a² + b² + c² + d² = 2a²+ 2b²
Der Umfang eines Rechtecks ergibt sich aufgrund von Symmetrie U = 2a + 2b
Wenn nun die Diagonalen 7 bzw. 9 Streichhölzer passen, ergibt sich folgendes:
7² + 9² = 2a²+ 2b²
130 = 2a²+2b²
Würde man nun die Wurzel ziehen
[mm] \wurzel{130} [/mm] = [mm] \wurzel{2a²+2b²} [/mm] = [mm] \wurzel{2[(a-b)(a+b)]}
[/mm]
Jedoch ist 2a²+2b² oder [mm] \wurzel{2a²+2b²} [/mm] ungleich 2a + 2b. Wie kann man es noch umformen, damit sich der Umfang des Parallelogramms in Abhängigkeit der Streichholzlänge ergibt?
Vielen Dank
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 So 19.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Aus lauter Streichhölzern gleicher Länge wurde ein
> Parallelogramm gelegt. In die Diagonalen passen exakt 7
> bzw. 9 Streichhölzer. Wie groß ist der Umfang des
> Parallelogramms?
> Hallo Zusammen,
>
> mit Hilfe der komplexen Zahlen kann man ja beweisen, dass
> für die Diagonalen und Seitenlänge folgendes gilt:
>
> e² + f² = a² + b² + c² + d² = 2a²+ 2b²
>
> Der Umfang eines Rechtecks ergibt sich aufgrund von
> Symmetrie U = 2a + 2b
>
> Wenn nun die Diagonalen 7 bzw. 9 Streichhölzer passen,
> ergibt sich folgendes:
>
> 7² + 9² = 2a²+ 2b²
> 130 = 2a²+2b²
Hallo,
du hast wahrscheinlich überlesen, dass die Seiten- und Diagonalenlängen sämtlich ganzzahlig sind.
130 = 2a²+2b² bzw. [mm] 65=a^2+b^2 [/mm] hat nur SEHR wenige ganzzahlige Lösungen.
Gruß Abakus
>
> Würde man nun die Wurzel ziehen
>
> [mm]\wurzel{130}[/mm] = [mm]\wurzel{2a²+2b²}[/mm] = [mm]\wurzel{2[(a-b)(a+b)]}[/mm]
>
> Jedoch ist 2a²+2b² oder [mm]\wurzel{2a²+2b²}[/mm] ungleich 2a + 2b.
> Wie kann man es noch umformen, damit sich der Umfang des
> Parallelogramms in Abhängigkeit der Streichholzlänge
> ergibt?
>
> Vielen Dank
> itse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 So 19.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo abakus,
ja, das habe ich eindeutig überlesen, mit den ganzzahligen Lösungen. Somit würde sich für 65 = a²+b² folgenden reellen Lösungen ergeben:
a = 8 und b = 1
a = 4 und b = 7
Negative Lösungen machen keinen Sinn, da die Länge nicht negativ sein kann. Somit würde sich für den Umfang ergeben:
U = 2a + 2b = 2*8 + 2*1 = 18
U = 2a + 2b = 2*4 + 2*7 = 22
Somit besteht der Umfang aus 18 Streichhölzern bzw. aus 22 Streichhölzern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 19.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
also ergibt sich für den Umfang zwei Ergebnisse, einmal 18 bzw. 22 Streichhhölzer? Da nur die zwei Diagonalen gegeben sind und somit nicht näher beschrieben werden kann.
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 19.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> also ergibt sich für den Umfang zwei Ergebnisse, einmal 18
> bzw. 22 Streichhhölzer? Da nur die zwei Diagonalen gegeben
> sind und somit nicht näher beschrieben werden kann.
Hallo,
zu deinen "zwei" Lösungen:
Wie sieht denn ein Parallelogramm aus, dessen Seitenlängen 8 und 1 sind, und desssen längste Diagonale die Seitenlänge 9 hat?
Gruß Abakus
>
> Gruß
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 19.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo abakus,
ich konnte eines konstruieren, mit den Seitenlängen 8 und 1, und den Diagonalen 9 und 7. Es sieht sehr flach aus. Ich sehe leider immer noch nicht, worauf du hinaus willst.
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 19.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> ich konnte eines konstruieren, mit den Seitenlängen 8 und
> 1, und den Diagonalen 9 und 7. Es sieht sehr flach aus. Ich
> sehe leider immer noch nicht, worauf du hinaus willst.
Hallo,
"sehr flach" geht schon in die richtige Richtung, allerdings ist es sogar sehr sehr sehr sehr sehr flach.
Es existiert nicht. (Es sind nur 4 Punkte, die auf einer Geraden liegen. Das ist kein reales Parallelogramm, sondern ein entarteter Grenzfall).
Gruß Abakus
>
> Gruß
> itse
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