kompaktheit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
hey leute, irgendwie merke ich gerade, dass ich die def. von kompaktheit irgendwie immer noch missverstehen muss. Wir hatten das so wie im forster def und zwar ist eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X kompakt, wenn es zu jeder offenen überdeckung eine endliche teilüberdeckung gibt.
eine offene überdeckung von A ist doch zusagen eine menge von mengen die A komplett enthält, wenn man alle mengen vereinigt.
und wenn dafür halt nur endl. viele mengen ausreiche, ist a kompakt oder?
und sozusagen gibt es doch immer eine endl. teilüberdeckung zu jeder offenen überdeckung, wenn eine offene überdeckung schon eine endl. teilüberdeckung besitzt oder?
danke und gruß Ari
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Hallo Ari,
nochmal ich, bevor ich auch mal was arbeiten muss.... 
> (frage zuvor nicht gestellt)
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> hey leute, irgendwie merke ich gerade, dass ich die def.
> von kompaktheit irgendwie immer noch missverstehen muss.
> Wir hatten das so wie im forster def und zwar ist eine
> Teilmenge A eines metrischen Raumes X kompakt, wenn es zu
> jeder offenen überdeckung eine endliche teilüberdeckung
> gibt.
Jep.
> eine offene überdeckung von A ist doch zusagen eine menge
> von mengen die A komplett enthält, wenn man alle mengen
> vereinigt.
richtig.
> und wenn dafür halt nur endl. viele mengen ausreiche, ist a
> kompakt oder?
du verdrehst die definition. so stimmt sie absolut nicht, denn dann wäre auch jede offene menge, eigentlich sogar jede menge kompakt....
> und sozusagen gibt es doch immer eine endl. teilüberdeckung
> zu jeder offenen überdeckung, wenn eine offene überdeckung
> schon eine endl. teilüberdeckung besitzt oder?
bleibe mal schön bei der definition: zu jeder(!) offenen überdeckung der menge muß eine endliche teilmenge der ÜD geben, die auch die komplette menge überdeckt.
einfaches beispiel für eine nicht kompakte menge: die offene einheitskugel im [mm] $\IR^n$. [/mm] Nimm jetzt als überdeckung die offenen kugeln [mm] $B_r(0)$ [/mm] mit [mm] $r=1-\frac [/mm] 1n$, wobei $n$ eine beliebige natürliche zahl ist. Dann überdecken die [mm] $B_r$-Kugeln [/mm] die einheitskugel, aber du kannst keine endliche teilüberdeckung auswählen!
Jetzt ein bißchen klarer?
Gruß
Matthias
> danke und gruß Ari
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
kann man das vielleicht auch so sehen:
eine menge A ist kompakt [mm] \gdw [/mm] A beschränkt und A abgeschlossen
will man damit sozusagen wirklich kompakte mengen haben wie man sie sich intuitiv vorstellt.
also möchte man damit zB so fälle ausschließen wie zB [mm] [a,\inty) [/mm]
diese menge wäre ja abgeschlossen, trotzdem ist sie unendlich groß mit der bedingung beschränkt kommt aber eine voraussetzung mit rein, die solche fälle nicht zulässt und somit werden nur mengen erfasst die man sich intuitiv als kompakt also nicht unendlich groß sind vorstellt.
ich hoffe ihr versteht was ich meine.. danke und gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mi 17.05.2006 | | Autor: | choosy |
> kann man das vielleicht auch so sehen:
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> eine menge A ist kompakt [mm]\gdw[/mm] A beschränkt und A
> abgeschlossen
das ist in endlichdimensionalen vektorräumen eine äquivalente definition der kompaktheit....
>
> will man damit sozusagen wirklich kompakte mengen haben wie
> man sie sich intuitiv vorstellt.
naja es gibt schon recht schwer vorstellbare kompakte mengen...
für mich ist es nur eine weitere charakterisierung von mengen wie gebiet, beschränkt,...
>
> also möchte man damit zB so fälle ausschließen wie zB
> [mm][a,\inty)[/mm]
die wären ja bereits mit beschränkt aussen vor
>
> diese menge wäre ja abgeschlossen, trotzdem ist sie
> unendlich groß mit der bedingung beschränkt kommt aber eine
> voraussetzung mit rein, die solche fälle nicht zulässt und
> somit werden nur mengen erfasst die man sich intuitiv als
> kompakt also nicht unendlich groß sind vorstellt.
also wie gesagt, ich weis nicht ob jede kompakte menge auch intuitiv als solche gesehen werden kann. in unendlichdimensionalen räumen ist bereits die abgeschlossene einheitskugel nicht kompakt...
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> ich hoffe ihr versteht was ich meine.. danke und gruß Ari
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