kompakte Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 So 29.03.2009 | | Autor: | one |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{i}}{z+i} [/mm] in [mm] \IC\backslash\{-1 , -2 , -3 ,...\} [/mm] kompakt konvergiert. |
Ich möchte zeigen, dass die Summe gleichmässig konvergiert. Daraus folgt ja, dass die Summe kompakt konvergiert.
Ich habe mal wie folgt begonnen:
[mm] \left|\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{i}}{z+i}\right|\le\summe_{i=1}^{\infty}\left|\bruch{(-1)^{i}}{z+i}\right|=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{|z+i|}
[/mm]
Doch danach bin ich leider nicht mehr weitergekommen. Wie kann ich dann weiter abschätzen?
Oder bin ich komplett auf dem falschen Weg?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Mo 30.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{i}}{z+i}[/mm]
> in [mm]\IC\backslash\{-1 , -2 , -3 ,...\}[/mm] kompakt konvergiert.
> Ich möchte zeigen, dass die Summe gleichmässig
> konvergiert. Daraus folgt ja, dass die Summe kompakt
> konvergiert.
>
> Ich habe mal wie folgt begonnen:
>
> [mm]\left|\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{i}}{z+i}\right|\le\summe_{i=1}^{\infty}\left|\bruch{(-1)^{i}}{z+i}\right|=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{|z+i|}[/mm]
>
> Doch danach bin ich leider nicht mehr weitergekommen. Wie
> kann ich dann weiter abschätzen?
> Oder bin ich komplett auf dem falschen Weg?
Ja.
1. Im Zusammenhang mit komplexen Zahlen ist es schlecht, den Buchstaben $i$ als Summationsindex zu verwenden.
Besser: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{z+n}[/mm]
2. Die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{|z+n|} [/mm] ist divergent !!!!
Denn [mm] \bruch{1}{|z+n|} \ge \bruch{1}{|z|+n} [/mm] für jedes n.
3. Wenn eine Reihe auf eine Menge D [mm] \subseteq \IC [/mm] kompakt konvergiert, so muß sie auf D nicht gleichmäßig konvergieren !!
Z.B. konvergiert eine Potenzreihe auf ihrer Konvergenzkreisscheibe kompakt aber dort i.a. nicht gleichmäßig.
FRED
|
|
|
|
