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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Mi 17.10.2007 | | Autor: | steph07 |
hallo! ich brauche dringend eure hilfe:gesucht:
| Aufgabe 1 | | eine funktion 4.grades, deren graph im ursprung ein extremum und den sattelpunkt (2/1) hat (welche art extremum?) |
| Aufgabe 2 | | eine funktion 4. grades mit extremum im ursprung und wendepunkt (2/4),dessen tangente durch den ursprung geht |
vielen dank im voraus
ich habe diese frage in keinem forum auf anderen internetseiten gestellt
hallo ich brauche dringend hilfe: wie kommt man bei dieser aufgabe zu einer lösung?
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> hallo! ich brauche dringend eure hilfe:gesucht: 1. eine
> funktion 4.grades, deren graph im ursprung ein extremum und
> den sattelpunkt (2/1) hat (welche art extremum?)
> 2. eine funktion 4. grades mit extremum im ursprung und
> wendepunkt (2/4),dessen tangente durch den ursprung geht
>
> vielen dank im voraus
>
> ich habe diese frage in keinem forum auf anderen
> internetseiten gestellt
> hallo ich brauche dringend hilfe: wie kommt man bei dieser
> aufgabe zu einer lösung?
Indem man einfach systematisch in Gleichungen abfüllt, was im Aufgabentext von der betreffenden Funktion verlangt wird 
Zu 1.: Eine allgemeine Funktion 4. Grades könnte man so ansetzen: [mm] $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, [/mm] mit noch zu bestimmenden Koeffizienten [mm] $a,b,c,d\in\IR$, $a\neq [/mm] 0$. Da wir aber wissen, dass diese Funktion ein Extremum im Ursprung (und deshalb dort eine Nullstelle gerader Ordnung, d.h. eine mindestens zweifache Nullstelle) hat, können wir gleich den einfacheren Ansatz
[mm]f(x)=ax^4+bx^3+cx^2[/mm]
verwenden. (Andere Möglichkeit: zusätzlich die Beziehungen $f(0)=0$ und $f'(0)=0$ zur Bestimmung der beiden zusätzlichen unbekannten Koeffizienten beim ersten Ansatz für $f$ nutzen.)
Dass der Graph von $f$ in $(2|1)$ einen Sattelpunkt hat, ergibt zudem die folgenden drei Bestimmungsgleichungen für die gesuchten Koeffizienten $a,b,c$:
[mm]\begin{array}{crcl|l}
\text{(1)} & f(2) &=& 1 & \text{da $(2|1)\in\mathcal{G}_f$}\\
\text{(2)} & f'(2) &=& 0 & \text{da Tangente in $(2|1)$ horizontal}\\
\text{(3)} & f''(2) &=& 0 &\text{da Wendepunkt in $(2|1)$}\\\cline{2-4}
\end{array}[/mm]
Nun brauchst Du dieses Gleichungssystem nur noch mit Hilfe des erwähnten Ansatzes [mm] $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2$ [/mm] ausdrücken und nach $a,b$ und $c$ aufzulösen.
Zu 2. Wie bei 1. können wir die Angabe, dass die gesuchte Funktion 4. Grades im Ursprung ein Extremum besitzt, mit dem Ansatz [mm] $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2$ [/mm] erfassen. Da die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(2|4)$ die Gleichung
[mm]t\!: \; y=f'(2)\cdot(x-2)+4[/mm]
hat, ergibt die zusätzliche Information, dass der Graph von $f$ in $(2|4)$ einen Wendepunkt besitzt, das folgende Gleichungssystem für die gesuchten Koeffizienten $a,b,c$:
[mm]\begin{array}{crcl|l}
\text{(1)} & f(2) &=& 4 & \text{da $(2|4)\in\mathcal{G}_f$}\\
\text{(2)} & f''(2) &=& 0 & \text{da Wendepunkt in $(2|4)$}\\
\text{(3)} & t(0) &=& 0 &\text{da $(0|0)$ auf Tangente $t$ liegt}\\\cline{2-4}
\end{array}[/mm]
Auch hier musst Du dieses Gleichungssystem mit Hilfe des Ansatzes [mm] $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2$ [/mm] und der oben erwähnten Geradengleichung der Wendetangente ausformulieren, damit Du ein Gleichungssystem erhältst, aus dem Du die gesuchten Koeffizienten $a,b,c$ bestimmen kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Mi 17.10.2007 | | Autor: | steph07 |
danke,dass hat mir geholfen!
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