kartesisches Koordinatensystem < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Di 25.03.2008 | | Autor: | Lilithly |
| Aufgabe | Ich musste leider alles im Wordprogramm schreiben, weil das Internet mich immer wieder
rausschmeißt, deswegen sind die Formeln, Vektoren...usw. nicht so gut geworden...
Für das Mal-Zeichen kann ich leider nur ein mal hinschreiben ...sorry...
In einem kartesischen Koordinatensystem ist für jedes t (Element von R) eine Ebene
E t durch die folgende Gleichung gegeben:
(4/0/0) + r mal (-4/3/0) + s mal (-4/0/5t)
a) Geben Sie die Gleichung der Ebene E 1 und E 1/5 in allgemeiner Form
(Koordinatengleichung) an.
Stellen Sie die ebene E 1 und E 1/5 in einem geeigneten Koordinatensystem dar, indem Sie
die Schnittpunkte der Ebenen mit den Koordinatenachsen ermitteln.
Wie groß ist der Schnittwinkel beider Ebenen? Die Schnittpunkte der Ebene E 1 und E 1/5
mit den Koordinatenachsen bestimmen eine dreiseitige schiefe Pyramide. Bestimmen Sie das
Volumen dieser Pyramide.
b)Weisen Sie nach, dass die Gerade g mit der Gleichung 3x + 4y-12=0 in jeder der Ebenen
E t liegt. Es existiert eine Ebene E* , die ebenfalls die Gerade g enthält, aber nicht zu den
Ebenen E t gehört. Ermitteln Sie eine Gleichung von E* in allgemeiner Form.
c) Welche der Ebenen, die die Gerade g enthalten hat zum Koordinatenursprung den größten
Abstand? (Begründung)
Geben Sie den maximalen Abstand an.
d)Der Abstand d des Koordinatenursprungs zu einer Ebene E t ist eine Funktion von t.
Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Funktion.
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Soooo...die koordinatengl. Bei a) sind bei mir: E 1: 15x+20y+12z=60
E 1/5: 3x+4y+12z=12
Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind bei mir:
E 1: Dx(4/0/0), Dy(0/3/0), Dz(0/0/5)
E 1/5: Dx(4/0/0), Dy(0/3/0), Dz(0/0/1)
Die Skizze hab ich dann gezeichnet, aba die is ja nich schwer... isses bis hierher richtig???
Für die Schnittwinkelberechnung hab ich erst den Normalenvektor berechnet durch ein
Kreuzprodukt der richtungsvektoren beider Ebenen.
Normalenvektoren: E 1: (15/20/12)
E 1/5: (3/4/12)
Für den Schnittwinkel hab ich dann cos Φ berechnet (cosinus phi)
Ich hab also das Skalarprodukt von den Normalenvektoren gebildet und das dann durch das
Prodkut der beiden gerechnet (glaub ich, ich habs mit dem Taschenrechner gemacht und der
hatte die Formel gespeichert)
als Schnittwinkel hab ich dann 41,7391° raus. Stimmt das so??
dann hab ich das Volumen der Pyramide berechnet: 1/6 mal ((AB Kreuzprodukt AC)
Skalarprodukt AS) mein Ergebnis war dann 8 VE.
Bitte sagt mir ob das alles richtig ist....
Soo... ab b) weiß ich dann absolut nicht mehr weiter. Ich versteh die Geradengleichung nicht
Mal, weil ich nicht weiß, ob ich jetzt nach y umstellen soll um die normale y= mx + n
Gleichung zu bekommen,oder ob ich was anderes machen soll... bitte erklärt mir die Ansätze
von den Aufgaben, damit ich die vestehe... ich seh da nämlich grad gar net durch...
wär echt nett wenn ihr mir helfen könntet.
Lilith~
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Di 25.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ich hab gerade leider nicht die Zeit alles nachzurechnen aber so im Kopf mal ebend drübergeflogen seiend, sieht das alles sehr gut aus.
Und die Ansätze sind auf jeden Fall bei der a) auch alle korrekt.
Vllt. kann es ja auch noch jemand nachrechnen.
Sonst ebend zur b):
Nein, die allgemeine Geradengleichung y=mx+b hat im [mm] R^{3} [/mm] nicht viel zu suchen.
Wenn es dir schwerfällt mit der Gerade in der Koordinatenform zu rechnen, so forme sie doch evtl. mal in die Parameterform um.
Zum Vergleich:
Ich erhalte im Kopf
g: [mm] \overrightarrow{OX}(r)= \vektor{4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r * [mm] \vektor{-\bruch{4}{3} \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Hoffe, dass dir das weiter hilft :)
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 25.03.2008 | | Autor: | maddhe |
zu c) Da alle Ebenen die Gerade enthalten, ist der maximale Abstand der Ebene vom Ursprung identisch mit dem Abstand der Geraden vom Ursprung.
Hier musst du also Abstand Punkt-Gerade anwenden (Hilfsebene durch den Ursprung mit Normalenvektor = Richtungsvektor der Geraden. Ich denk mal, Maggons Parameterform der Geraden ist richtig, dann ist die Ebenengleichung der Hilfsebene [in Normalenform] [mm] \left(\vec{x}*\vektor{-\bruch{4}{3}\\1\\0}\right)=0 [/mm] Zur Abstandsberechnung kannst du dann die Gerade in die Ebene einsetzen und erhältst den Lotfußpunkt des Ursprungs auf der Geraden. Der Betrag dieses Ortsvektors ist dann auch schon der Abstand.
d) läuft über die Hesse-Form [mm] d(0,E_t)=\bruch{1}{|\vec{n_t}|}|\vec{n_t}*\vec{a_t}|, [/mm] wobei [mm] \vec{n_t} [/mm] der Normalenvektor der Ebene ist und [mm] \vec{a_t} [/mm] der Ortsvektor zu einem Punkt der Ebene - Hier eignet sich [mm] \vektor{4\\0\\0} [/mm] ganz gut.
(Bemerkung: Die Hesse-Form dort oben gilt so nur für Abstand zum Ursprung, da dort [mm] x_1=x_2=x_3=0)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Lilithly |
danke, aber kannst du mir d nochmal erklären? ich hab jetzt den abstand von der geraden zum ursprung gerechnet, aber dann weiß ich nicht weiter... die Hesse-form kenn ich nicht und was eine Hilfsebene is weiß ich auchnich. das hatten wir nicht gelernt...*schnüff*
zu b hab ich auch noch ne frage: ich kann jetzt zwar rechnen, dass E1 und E 1/5 diese Gerade haben, aber wie rechne ich das für E t? geht das überhaupt?..... oh mann...wäre echt nett wenn ihr mir helfen könntet..
danke nochmal für die hilfe
Lilith~
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Do 27.03.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Lilith,
> danke, aber kannst du mir d nochmal erklären? ich hab jetzt
> den abstand von der geraden zum ursprung gerechnet, aber
> dann weiß ich nicht weiter... die Hesse-form kenn ich nicht
> und was eine Hilfsebene is weiß ich auchnich. das hatten
> wir nicht gelernt...*schnüff*
> zu b hab ich auch noch ne frage: ich kann jetzt zwar
> rechnen, dass E1 und E 1/5 diese Gerade haben, aber wie
> rechne ich das für E t? geht das überhaupt?..... oh
> mann...wäre echt nett wenn ihr mir helfen könntet..
> danke nochmal für die hilfe
Am einfachsten formst Du die Gleichung für [mm] E_t [/mm] in die Koordinatenform um. Du solltest erhalten:
$ [mm] E_T: [/mm] 15t\ x + 20t\ y + 12\ z = 60t $
erhalten.
Jetzt kannst Du b) leicht durch Einsetzen lösen.
Mit Hilfe der Koordinatenform kannst Du auch leicht den Abstand zum Koordinatenursprung in Abhängigkeit von t bestimmen. Wenn Du die Hesseform nicht kennst, hast Du vermutlich den Schnittpunkt der Senkrechten zu [mm] E_t [/mm] durch = mit der Ebene bestimmt.
Kommst Du jetzt weiter?
Gruß
Sigrid
> Lilith~
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