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jacobi-matrix: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Fr 24.06.2005
Autor: bobby

Hallo!

Ich habe folgende Aufgaben, bei denen ich nicht weiterkomme:

1) Beweisen Sie, dass für [mm] f\inC^{2}(U), U\subset\IR^{n} [/mm] offen, gilt:
[mm] H_{f}(x)=J_{gradf}(x). [/mm]


2) Beweisen Sie, dass für [mm] f\inC^{2}(U), U\subset\IR^{n} [/mm] offen, und [mm] v\in\IR^{n} [/mm] gilt:   [mm]\bruch{\partial^{2}}{\partial v\partial v}f(x)=v^{T}H_{f}(x)v[/mm].

        
Bezug
jacobi-matrix: Loesung Jacobi, Aufgabe a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Fr 24.06.2005
Autor: Heisenberg

Hallo, die Hesse Matrix ist in Komponenten definiert als : [mm] $(H_{f}(x))_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_i \partial x_j}. [/mm] $

Der Gradient einer Funktion $f: [mm] \mathbf{R^n}\to \mathbf{R} [/mm] $ in der i-ten Komponente ist definiert als $(grad\  [mm] f)_{i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}.$ [/mm]
Definiere nun die i-te Komponente einer Funktion $g : [mm] \mathbf{R^n}\to\mathbf{R^n}$ [/mm] als [mm] $g_{i}=(grad\ f)_{i}. [/mm] $
Nun kann man die Definition der Jakobimatrix auf $ g=(grad\ f).$ anwenden und erhält das gewünschte Ergebnis:
[mm] $(J_{g})_{ij}=(J_{grad\ f})_{ij}=\frac{\partial g_i}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial f}{\partial x_i}=(H_{f})_{ij}$ [/mm]


Bezug
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