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Hallo, ich soll zeigen, dass [mm] G1:=\IZ_{6}x\IZ_{2} [/mm] nicht isomorph ist zu
[mm] G2:=\IZ_{12}.
[/mm]
Ich habe dies zwar gelöst würde aber gerne wissen, ob meine Lösung richtig ist:
Beweis:
Angenommen G1 [mm] \cong [/mm] G2.
Dann gibt es einen isomorphen Gruppenmorphismus f:G1-->G2.
es gilt dann [mm] f(0,0)=\overline{0} \in [/mm] G2,
da f Gruppenmorphismus.
Außerdem gilt [mm] \forall \overline{x} \in [/mm] G2. [mm] \exists! [/mm] (x,y) mit [mm] f(x,y)=\overline{x}.
[/mm]
Es gilt aber: 0=f(0,0)=f((3,1)+(3,1))=f((3,1)) + f((3,1))
[mm] \Rightarrow f((3,1))=\overline{6}
[/mm]
Analog für f((3,0))...also [mm] f((3,0))=\overline{6}.
[/mm]
Im Widerspruch zur Annahme dass f bijektiv.
kann man das so machen? wenn nicht wo liegt eurer meinung nach der fehler?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Fr 23.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo, ich soll zeigen, dass [mm]G1:=\IZ_{6}x\IZ_{2}[/mm] nicht
> isomorph ist zu
> [mm]G2:=\IZ_{12}.[/mm]
>
> Ich habe dies zwar gelöst würde aber gerne wissen, ob
> meine Lösung richtig ist:
>
> Beweis:
>
> Angenommen G1 [mm]\cong[/mm] G2.
> Dann gibt es einen isomorphen Gruppenmorphismus
> f:G1-->G2.
>
> es gilt dann [mm]f(0,0)=\overline{0} \in[/mm] G2,
> da f Gruppenmorphismus.
>
> Außerdem gilt [mm]\forall \overline{x} \in[/mm] G2. [mm]\exists![/mm] (x,y)
> mit [mm]f(x,y)=\overline{x}.[/mm]
>
> Es gilt aber: 0=f(0,0)=f((3,1)+(3,1))=f((3,1)) + f((3,1))
> [mm]\Rightarrow f((3,1))=\overline{6}[/mm]
>
> Analog für f((3,0))...also [mm]f((3,0))=\overline{6}.[/mm]
>
> Im Widerspruch zur Annahme dass f bijektiv.
>
> kann man das so machen? wenn nicht wo liegt eurer meinung
> nach der fehler?
Ja, das kann man so machen (und ist auch der optimale Weg). Du benutzt, dass die Gleichung $2 x =0$ in [mm] $\IZ_{12}$ [/mm] genau zwei Loesungen (naemlich $0, 6$) hat, in [mm] $\IZ_6 \times \IZ_2$ [/mm] jedoch vier Loesungen.
LG Felix
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