isolierte Singularität 2 < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Fr 06.07.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | (i) Bestimmen Sie fur die folgenden Funktionen die Art der Singularitat in [mm] $z_0$, [/mm] und berechnen Sie bei hebbaren Singularitaten den Grenzwert, bei Polstellen die Ordnung und den Hauptteil:
(a) [mm] $\bruch{1}{1-e^z}$ [/mm] in [mm] $z_0 [/mm] = 0$
(b) [mm] $\bruch{1}{z-\sin z}$ [/mm] in [mm] $z_0 [/mm] = 0$
(c) [mm] $\bruch{ze^{iz}}{(z^2+b^2)^2}$ [/mm] in [mm] $z_0 [/mm] = ib (b>0)$
(d) [mm] $(\sin [/mm] z + [mm] \cos [/mm] z [mm] -1)^{-2}$ [/mm] in [mm] $z_0 [/mm] = 0$
(ii) Bestimmen Sie fur die folgenden Funktionen alle ihre isolierten Singularitaten und beantworten Sie dann jeweils die in (i) gestellten Fragen:
(a) [mm] $\bruch{z^3+3z^2+2i}{z^2+1}$
[/mm]
(b) [mm] $\bruch{1}{(z^2+b^2)^2} [/mm] (b>0)$
(c) [mm] $\bruch{z}{(z^2+b^2)^2} [/mm] (b>0)$
(d) [mm] $\cos(1/z)$ [/mm] |
Hallo!
Irgendwie stehe ich ein wenig auf den Schlauch.
Kann mir jemand kleine Tipps zu den Aufgaben geben... so ein kleiner Anstoß tut ganz gut.
Vielen Danke,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Fr 06.07.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> (i) Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Art der
> Singularität in [mm]z_0[/mm], und berechnen Sie bei hebbaren
> Singularitäten den Grenzwert, bei Polstellen die Ordnung
> und den Hauptteil:
>
> (a) [mm]\bruch{1}{1-e^z}[/mm] in [mm]z_0 = 0[/mm]
>
> (b) [mm]\bruch{1}{z-\sin z}[/mm] in [mm]z_0 = 0[/mm]
>
> (c) [mm]\bruch{ze^{iz}}{(z^2+b^2)^2}[/mm] in [mm]z_0 = ib (b>0)[/mm]
>
> (d) [mm](\sin z + \cos z -1)^{-2}[/mm] in [mm]z_0 = 0[/mm]
>
> (ii) Bestimmen Sie fur die folgenden Funktionen alle ihre
> isolierten Singularitäten und beantworten Sie dann jeweils
> die in (i) gestellten Fragen:
>
> (a) [mm]\bruch{z^3+3z^2+2i}{z^2+1}[/mm]
>
> (b) [mm]\bruch{1}{(z^2+b^2)^2} (b>0)[/mm]
>
> (c) [mm]\bruch{z}{(z^2+b^2)^2} (b>0)[/mm]
>
> (d) [mm]\cos(1/z)[/mm]
> Hallo!
>
> Irgendwie stehe ich ein wenig auf den Schlauch.
>
> Kann mir jemand kleine Tipps zu den Aufgaben geben... so
> ein kleiner Anstoß tut ganz gut.
Als erstes solltest du dir überlegen, ob es sich bei den angegebenen Punkten um eine hebbare Singularität ode reinen Pol handelt. Wenn du dir z.B. die Funktion
[mm]f(z)=\bruch{1}{1-e^z}[/mm]
anschaust, dann siehst du, dass sie in ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph ist, außer im Punkt [mm] $z_0=0$ [/mm] - denn die e-Funktion ist in ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph,und im Punkt 0 wird der Nenner 0. Das heißt, es ist nicht möglich, einen Funktionswert zu finden, mit dem die Funktion in ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph ist.
Zur Bestimmung der Polordnung könntest du versuchen, das Verhalten von
[mm] (z-z_0)^n * f(z) = \bruch{z^n}{1-e^z} [/mm]
anzuchauen. Die Polordnung ist das kleinste n, für das diese Funktion eine hebbare Singularität in 0 hat.
Einfacher ist es aber, von den Eigenschaften der e-Funktion auszugehen. Du weisst, dass [mm] $e^z$ [/mm] in 0 in Potenzreihenentwicklung
[mm] e^z = \summe_{n=0}^\infty \bruch{z^n}{n!} [/mm]
besitzt.
Damit ist
[mm] 1-e^z = 1- \summe_{n=0}^\infty \bruch{z^n}{n!} = 1- 1 - \summe_{n=1}^\infty \bruch{z^n}{n!} = - \summe_{n=1}^\infty \bruch{z^n}{n!} = - z \summe_{n=1}^\infty \bruch{z^{n-1}}{n!} = -z \summe_{n=0}^\infty \bruch{z^n}{(n+1)!} = -z g(z)[/mm] .
Die Potenzreihe
[mm] g(z) = \summe_{n=0}^\infty \bruch{z^n}{(n+1)!} [/mm]
konvergiert in ganz [mm] $\IC$, [/mm] da die Exponentialreihe eine Majorante ist. Außerdem ist $g(0)=1$ .
Dann ist
[mm] h(z) = \bruch{1}{g(z)} [/mm]
in einer Umgebung von 0 holomorph und $h(0) =1$. Also existiert in einer Umgebung von 0 die Potenzreihenentwicklung
[mm] h(z) = \summe_{n=0}^\infty b_n z^n [/mm] mit [mm] $b_0=1$ [/mm] .
Daraus folgt, dass
[mm] \bruch{1}{1-e^z} = -\bruch{1}{z} h(z) [/mm]
in [mm] $z_0=0$ [/mm] einen Pol 1. Ordnung hat, denn der Hauptteil ist [mm] $-\bruch{1}{z}$.
[/mm]
(Man kann sogar die Potenzreihenentwicklung von $h(z)$ aus der von $g(z)$ berechnen, indem man das Cauchyprodukt $g(z)*h(z)$ ausrechnet, es gleich 1 setzt und die Koeffizienten vergleicht. Das ergibt eine Rekursionsfromel für die [mm] $b_n [/mm] $.)
Für die rationalen Funktionen in Teil (ii) kannst du die Pole bestimmen, indem du die Nullstellen von Zähler und Nenner und ihre jeweilige Ordnung bestimmst.
Viele Grüße
Rainer
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