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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:05 Di 29.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | | z. z.: [mm] f(X):=X^{8}+4*X^{6}+40*X^{2}+4 [/mm] ist irreduzibel über [mm] \IQ [/mm] |
Heyho!
Also irgendwie hab ichs noch nicht so wirklich hingekriegt. Kann man irgendwie Eisenstein anwenden? Bei f(X+1) etc. gehts nicht...
Reduktion modolu Primzahl hab ich auch nichts vernünftiges gefunden womit es klappt...
Das einzige was mir noch einfällt, wie es sicherlich gehen würde, ist es alle möglichen Kombinationen der Linearfaktoren zu probieren. Das dürften aber an die 100 Stück sein. Unmöglich...
Das muss doch hoffentlich irgendwie auch einfacher gehen oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Mi 30.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> z. z.: [mm]f(X):=X^{8}+4*X^{6}+40*X^{2}+4[/mm] ist irreduzibel über
> [mm]\IQ[/mm]
>
> Also irgendwie hab ichs noch nicht so wirklich hingekriegt.
> Kann man irgendwie Eisenstein anwenden? Bei f(X+1) etc.
> gehts nicht...
> Reduktion modolu Primzahl hab ich auch nichts
> vernünftiges gefunden womit es klappt...
Nun, wenn du modulo 5 gehst, bekommst du nur zwei Faktoren von Grad 4.
Wenn $f$ ueber [mm] $\IZ$ [/mm] reduzibel waer, etwa $f = g [mm] \cdot [/mm] h$ mit normierten Polynomen $g, h [mm] \in \IZ[x]$, [/mm] dann gibt es auch modulo 5 eine solche Faktorisierung [mm] $\hat{f} [/mm] = [mm] \hat{g} \cdot \hat{h}$ [/mm] mit [mm] $\hat{g}, \hat{h} \in \IZ/5\IZ[x]$ [/mm] mit [mm] $\deg \hat{g} [/mm] = [mm] \deg [/mm] g$, [mm] $\deg [/mm] h = [mm] \deg \hat{h}$.
[/mm]
Daraus folgt: wenn $f$ ueber [mm] $\IZ$ [/mm] reduzibel ist, kann es nur das Produkt zweier irreduzibler Polynome von Grad 4 sein.
Also, setze $g := [mm] x^4 [/mm] + a [mm] x^3 [/mm] + b [mm] x^2 [/mm] + c x + d$, $h = [mm] x^4 [/mm] + e [mm] x^3 [/mm] + f [mm] x^2 [/mm] + k x + [mm] \ell$ [/mm] mit $a, b, c, d, e, f, k, [mm] \ell \in \IZ$, [/mm] berechne $g [mm] \cdot [/mm] h$ und mache einen Koeffizientenvergleich mit $f$.
Kannst du einen Widerspruch bekommen?
LG Felix
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