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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Sa 24.01.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Zerlegen Sie folgendes Polynom in irreduzible Faktoren:
[mm] x^4 [/mm] + 1 in [mm] \IC[x], \IR[x], \IQ[x], \IZ[x]. [/mm] |
In [mm] \IC[x] [/mm] und [mm] \IR[x] [/mm] konnte ich das Polyonom problemlos zerlegen.
Nämlich:
[mm] (x+e^{i\bruch{\pi}{4}})(x-e^{i\bruch{\pi}{4}})(x+e^{i\bruch{3\pi}{4}})(x-e^{i\bruch{3\pi}{4}}) [/mm] in [mm] \IC[x]
[/mm]
und
[mm] (x^2+\wurzel{2}x [/mm] + [mm] 1)(x^2-\wurzel{2}x [/mm] + 1) in [mm] \IR.
[/mm]
Doch in [mm] \IZ[x] [/mm] und [mm] \IQ[x] [/mm] ist [mm] x^4+1 [/mm] irreduzibel. Doch wie kann ich dies zeigen?
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Hallo johnny11,
Kennst du das ![[]](/images/popup.gif) Eisensteinkriterium ?
Damit geht es blitzschnell, wenn du $x:=y+1$ substituierst und dir das Polynom [mm] $(y+1)^4+1$ [/mm] anschaust.
LG
schachuzipus
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Hallo,
Ja das Eisensteinkriterium kenne ich.
Mit der Substitution und nach Ausmultiplizieren erhalte ich:
[mm] y^4 [/mm] + [mm] 4y^3 [/mm] + [mm] 6y^2 [/mm] + 4y + 2.
Dann wähle ich für p = 2 . Somit wäre also das Polynom irreduzibel über [mm] \IQ[x].
[/mm]
Aber zwei Fragen stehen nun noch offen:
Wesalb darf ich x:= y + 1 eifach so subtituieren?
Und was ist mit der Irrezuzibilität über [mm] \IZ[x]? [/mm]
Das Eisensteinkriterium gilt doch nur über einem Quotientenkörper...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Di 27.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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