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| Aufgabe | Sei [mm] A_0 \in L(E,E_1) [/mm] ein linearer Operator mit beschränkter Inverse,
[mm] \Delta A\in L(E,E_1) [/mm] ein weiterer linearer Operator mit
[mm] \parallel \Delta A\parallel<\bruch{1}{\parallel{A_0}^{-1}\parallel}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass der Operator [mm] {(A_0+\Delta A )}^{-1 } [/mm] existiert und beschränkt ist. |
Hallo Leute,
Ich hab ein Problem mit der obigen Frage, und zwar:
Nach einem Satz der Vorlesung soll man zeigen, dass für alle x [mm] \in [/mm] E, [mm] \exists [/mm] m>0, so dass
[mm] \parallel(A_0+\Delta A)x\parallel \ge m\parallel x\parallel [/mm]
Wenn man [mm] A_0 [/mm] berachtet, es existiert so ein m, weil die Inverse existiert.Also muss man für [mm] {\Delta A} [/mm] auch so ein m finden.
Man hat [mm] \parallel \Delta A\parallel<\bruch{1}{\parallel{A_0}^{-1}\parallel}
[/mm]
Also [mm] \bruch{1}{\parallel{A_0}^{-1}\parallel} \ge \bruch{1}{m_0 \parallel x \parallel}
[/mm]
Also [mm] \parallel{A_0}^{-1}\parallel \ge m_0 \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] was auch logisch wäre, weil die Inverse zu [mm] A_0^{-1} [/mm] ist [mm] A_0 [/mm] und existiert.
Andererseits gilt:
[mm] \parallel(A_0+\Delta A)x\parallel=\parallel(A_0 [/mm] x [mm] +\Delta [/mm] A x [mm] )\parallel
[/mm]
Mit dreiecksungleichung hat man dann ein [mm] \le [/mm] was nicht zu gewünschten Ergebnis führt.
Ich weiß nicht, ob ich den richtigen Ansatz hab, und wenn ja, wie ich weiter vorgehen soll.
Ich bedanke mich im Voraus.Lg. V.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 20.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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