inverse Elemente in \IZ_m < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Sa 24.11.2007 | | Autor: | fvs |
| Aufgabe | | Überprüfen Sie, ob [15]_(48), [25]_(48) und [35]_(48) im Ring [mm] \IZ_(48) [/mm] bezüglich der Multiplikation invertierbar sind. Berechnen Sie gegebenenfalls das inverse Element. |
Hallo.
Ich habe mal einer Frage zu dieser Aufgabe.
Da gilt ggt(15,48) = 3 ist [15]_(48) im Ring [mm] \IZ_(48) [/mm] bezüglich der Multiplikation nicht invertierbar und somit existiert auch nicht das inverse Element.
Da gilt ggt(25,48) = 1 ist [25]_(48) im Ring [mm] \IZ_(48) [/mm] bezüglich der Multiplikation invertierbar und somit existiert auch das inverse Element, welches sich mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen lässt.
Für das inverse Element gilt nun:
48 = 25 * 1 + 23
25 = 23 * 1 + 2
13 = 2 * 11 + 1
2 = 1 * 2 + 0
Also gilt nun weiter -23*25 + 12*48 = 1 mod 48. Laut unserem Skript soll ich nun die Restklasse von -23 bilden, also 23. Also ist das inverse Element [23]_(48).
Nun wollte ich das mal überprüfen, weiß aber nicht so recht wie.
Es gilt ja 23 * 25 = 575 = 11 * 48 + 47
Also irgendetwas stimmt doch an diesem System nicht, vielleicht kann mir jemand mal auf die Sprünge helfen.
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> Überprüfen Sie, ob [15]_(48), [25]_(48) und [35]_(48) im
> Ring [mm]\IZ_(48)[/mm] bezüglich der Multiplikation invertierbar
> sind. Berechnen Sie gegebenenfalls das inverse Element.
> Da gilt ggt(25,48) = 1 ist [25]_(48) im Ring [mm]\IZ_(48)[/mm]
> bezüglich der Multiplikation invertierbar und somit
> existiert auch das inverse Element, welches sich mit dem
> euklidischen Algorithmus bestimmen lässt.
> Für das inverse Element gilt nun:
>
> 48 = 25 * 1 + 23
> 25 = 23 * 1 + 2
> 23 = 2 * 11 + 1
> 2 = 1 * 2 + 0
>
> Also gilt nun weiter -23*25 + 12*48 = 1 mod 48. Laut
> unserem Skript soll ich nun die Restklasse von -23 bilden,
Hallo,
und die ist nicht 23.
Es ist [mm] -23=-1*48+25\equiv [/mm] 25 mod 48.
Damit ist 25 das inverse zu 25, und wenn Du das ausrechnest, wirst Du zufrieden sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Sa 24.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Könntest du mir dann vielleicht einmal die genaue Vorgehensweise zum Errechnen des inversen erläutern an Hand des Beispiels von [25]_48?
Zunächst:
48 = 25 * 1 + 23
25 = 23 * 1 + 2
23 = 2 * 11 + 1
2 = 1 * 2 + 0
Ebenso wird nun betrachet:
23 = 48 - 1 * 25
2 = 25 - 23 = 25 - (48 - 1 * 25) = 25 - 48 + 25 = -48 + 2 * 25
1 = 23 - 11 * 2 = 23 - 11 (-48 + 2*25) = 48 - 1*25 - 11(-48 + 2*25) = -23*25 + 12*48
Nun gilt also -23*25 + 12*48 = 1 mod 48.
Soweit komme ich jetzt auch noch, aber wie geht es nun genau weiter?
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> Hallo.
>
> Könntest du mir dann vielleicht einmal die genaue
> Vorgehensweise zum Errechnen des inversen erläutern an Hand
> des Beispiels von [25]_48?
>
> Zunächst:
> 48 = 25 * 1 + 23
> 25 = 23 * 1 + 2
> 23 = 2 * 11 + 1
> 2 = 1 * 2 + 0
>
> Ebenso wird nun betrachet:
> 23 = 48 - 1 * 25
> 2 = 25 - 23 = 25 - (48 - 1 * 25) = 25 - 48 + 25 = -48 + 2
> * 25
> 1 = 23 - 11 * 2 = 23 - 11 (-48 + 2*25) = 48 - 1*25 -
> 11(-48 + 2*25) = -23*25 + 12*48
>
>
> Nun gilt also -23*25 + 12*48 = 1 mod 48.
>
>
>
> Soweit komme ich jetzt auch noch, aber wie geht es nun
> genau weiter?
Ich habe lediglich aufgegriffen, was Du selber schriebst, daß nämlich die Restklasse, in welcher -23 liegt dann das Inverse v. 25 ist.
In welcher Restklasse liegt -23? In [25]_48, denn -23 läßt bei Division durch 48 den Rest 25, denn es ist -23=(-1)*48 +25.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Sa 24.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Ich denke, dass ich das nun verstanden habe, aber ich würde mein Ergebnis gerne noch einmal bestätigen lassen.
Ich muss bei [35]_48 die Restklasse von 11 ermitteln und dann lande ich bei [-37]_48.
Ist das so richtig? Können Restklassen überhaupt negativ werden?
Vielen Dank.
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> Ich muss bei [35]_48 die Restklasse von 11 ermitteln
Ich verstehe nicht genau, was Du damit meinst...
Es ist 1=35*11+(-8)*48,
also ist [11]_48 das Inverse zu [35]_48.
> dann lande ich bei [-37]_48.
Es ist [-37]_48=[11]_48,
denn -37 und 11 lassen bei Division durch 48 denselben Rest.
Ich habe den Eindruck, daß Dir ein paar Basics über Restklassen fehlen.
Es ist [mm] [11]_48=\{..., -133, -85, -37, 11, 59, 107,...\}
[/mm]
Es ist [11]_48 z.B. auch =[-133]_48, 11, -133, 59 sind Repräsentanten dieser Restklasse.
Ich glaube, ein Teil der Verwirrung kommt daher, daß Ihr bei Eurer Schreibweise nicht deutlich trennt zwischen ganzen Zahlen und den durch sie repräsentierten Restklassen.
Gruß v. Angela
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