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| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{a^{3}}{x^{2}+a^{2}}} [/mm] |
also [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] wird ja bei der integration zu [mm] -\bruch{1}{x}
[/mm]
nur wie ist es bei obigem bruch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Cellshock,
das geht ganz anders...
> [mm]\integral{\bruch{a^{3}}{x^{2}+a^{2}}}[/mm]
> also [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] wird ja bei der integration zu
> [mm]-\bruch{1}{x}[/mm]
>
> nur wie ist es bei obigem bruch?
Das basiert darauf, dass die Ableitung von [mm] \arctan{x} [/mm] gerade [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] ist.
Allerdings wirst Du noch u=x/a substituieren müssen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Cellschock |
hmm irgendwie kann ich damit noch nicht so recht was anfangen :-/
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also u = x/a? meint ihr damit x =u*a
dann [mm] \bruch{a^{3}}{u^{2}a^{2}+a^{2}} [/mm] dx
[mm] \bruch{dx}{du} [/mm] = a
[mm] \bruch{a^{3}}{a^{2}(u^{2}+1)} [/mm] du*a
[mm] a^{2}\integral{\bruch{1}{u^{2}+1}} [/mm] du
und dann mit rücksubstitution
a² arctan [mm] (\bruch{x}{a})?
[/mm]
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Hallo nochmal,
> also u = x/a? meint ihr damit
Ich meinte damit das ganze, was hier folgt...
> x =u*a
>
> dann [mm]\bruch{a^{3}}{u^{2}a^{2}+a^{2}}[/mm] dx
Das ist eine etwas krause Schreibweise. Entweder Du formst nur den Integranden um, dann ist hier das dx überflüssig, oder Du formst das ganze Integral um, dann fehlt das Integralzeichen.
> [mm]\bruch{dx}{du}[/mm] = a
>
> [mm]\bruch{a^{3}}{a^{2}(u^{2}+1)}[/mm] du*a
>
> [mm]a^{2}\integral{\bruch{1}{u^{2}+1}}[/mm] du
Sonst aber komplett richtig.
Vielleicht lohnt sich an dieser Stelle aber doch noch hinzuschreiben, dass dies nun gleich [mm] a^2\arctan{(u)} [/mm] ist.
> und dann mit rücksubstitution
>
> a² arctan [mm](\bruch{x}{a})?[/mm]
So ist es.
Außer WolframAlpha lohnt sich übrigens auch, möglichst große Teile ![[]](/images/popup.gif) dieser Tabelle oder entsprechender aus anderen Quellen präsent zu haben. Die einfacheren Funktionen daraus sollte (und darf) man wissen - also auch in der Klausur anwenden -, bei den anderen ist es sinnvoll, sich den Integrationsweg einmal herzuleiten. Das geht meist ganz gut, indem man sich anschaut, wie die Ableitung der Stammfunktion eigentlich funktioniert.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Cellschock |
ok danke euch! 
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Hallo,
das hat reverend Dir doch geschrieben:
Substituiere $ [mm] u=\frac{x}{a} [/mm] $ und finde heraus, was die Stammfunktion von [mm] \frac{1}{1+u^2} [/mm] ist. Entweder du leitest es Dir mittels trigonometrischer substitution her oder aber du besucht wolframalpha o.ä.
LG
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