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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Kulli |
hey,
ich habe 2 aufgaben vom gleichen prinzip aber irgendwie finde ich meine fehler nicht...
also die aufgabe istdass f und g eine fläche begrenzen, die um die x-achse rotiert. dazu soll dann das volumen des rotationskörpers berechnet werden.
von a) [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] und g(x)= [mm] \wurzel{x}
[/mm]
und von b) f(x)= 3x²-x³ und g(x)= x²
so für a) sind die SP dann ja bei x=0 und x=4
und bei b) bei x=0 und X=2
die formel für die rotation ist ja
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{f²(x) dx}
[/mm]
also für a)
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{4}{x - x^{1,5} + \bruch{1}{4} x² dx}
[/mm]
die stammfunktion hab ich dann:
[mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] - [mm] \bruch{2}{5}x^{2,5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{12}x³
[/mm]
mit den grenzen eingesetzt ergibt das dann
[mm] \pi [/mm] * ((8-12,8+ [mm] \bruch{16}{3})-0) [/mm] = [mm] \pi [/mm] * 8/15
bei der angegebenen lösung steht aber 8,38.. find aber meinen fehler nicht..
für b) ist das ganze dann:
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{2}{((3x²-x³)-x²)² dx}
[/mm]
also
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{2}{(2x² - x³)² dx}
[/mm]
also
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{2}{4x^{4} - 4x^{5} + x^{6} dx}
[/mm]
davon die stammfunktion:
[mm] \bruch{4}{5}x^{5} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}x^{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7}x^{7}
[/mm]
mit den grenzen und pi eingesetzt ergibt sich:
[mm] \pi [/mm] * (25,6 - [mm] \bruch{128}{3} [/mm] + [mm] \bruch{128}{7} [/mm] = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{128}{105}
[/mm]
aber auch hier haben wir als ergebnis 17,23 aufgeschrieben..
hoff jemand findet meine fehler!danke
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Der Fehler ist so banal, daß ich ihn selbst auch in ner Klausur gemacht habe:
[mm] $(f-g)^2 \neq f^2-g^2$
[/mm]
Man schnitzt sich ja erst die äußere Form der Figur - dann hat sie das Volumen [mm] \pi\integral f^2
[/mm]
und dann höhlt man sie aus - man entfernt das Volumen [mm] \pi\integral g^2
[/mm]
Somit gilt für das Volumen:
[mm] $\pi\integral f^2-\pi\integral g^2=\pi\integral (f^2-g^2)$
[/mm]
Von den "normalen" Integralen ist man gewohnt, daß man f-g berechnen kann, und das in das Integral einsetzt - das gilt hier nicht, weil die Integralfunktion hier nicht linear ist!
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(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 22:30 Fr 17.11.2006 | | Autor: | informix |
Hallo Event_Horizon,
danke, dass du noch mal drüber gelesen hast!
> Der Fehler ist so banal, daß ich ihn selbst auch in ner
> Klausur gemacht habe:
>
> [mm](f-g)^2 \neq f^2-g^2[/mm]
Wenn man es so hinschreibt, sieht man es sofort. 
>
> Man schnitzt sich ja erst die äußere Form der Figur - dann
> hat sie das Volumen [mm]\pi\integral f^2[/mm]
>
> und dann höhlt man sie aus - man entfernt das Volumen
> [mm]\pi\integral g^2[/mm]
>
> Somit gilt für das Volumen:
>
> [mm]\pi\integral f^2-\pi\integral g^2=\pi\integral (f^2-g^2)[/mm]
>
>
> Von den "normalen" Integralen ist man gewohnt, daß man f-g
> berechnen kann, und das in das Integral einsetzt - das gilt
> hier nicht, weil die Integralfunktion hier nicht linear
> ist!
Ich verbessere das jetzt gleich!
Gruß informix
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Hallo Kulli,
> hey,
> ich habe 2 aufgaben vom gleichen prinzip aber irgendwie
> finde ich meine fehler nicht...
Ich muss dich schon wieder enttäuschen - ich finde keinen Fehler in deiner Rechnung!
> also die aufgabe istdass f und g eine fläche begrenzen,
> die um die x-achse rotiert. dazu soll dann das volumen des
> rotationskörpers berechnet werden.
>
> von a) [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] und g(x)= [mm]\wurzel{x}[/mm]
> und von b) f(x)= 3x²-x³ und g(x)= x²
>
>
> so für a) sind die SP dann ja bei x=0 und x=4
> und bei b) bei x=0 und X=2
>
> die formel für die rotation ist ja
>
> [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b}{f²(x) dx}[/mm]
>
>
> für b) ist das ganze dann:
>
>
> [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{2}{((3x²-x³)-x²)² dx}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]\pi*\integral_{0}^{2}{((3x^2-x^3)^2-x^2)^2 dx}[/mm]
ab hier muss du einfach nochmal neu rechnen, dann kommt auch das angegebene Ergebnis raus.
> also
>
> [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{2}{(2x² - x³)² dx}[/mm]
> also
> [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{2}{4x^{4} - 4x^{5} + x^{6} dx}[/mm]
>
> davon die stammfunktion:
>
> [mm]\bruch{4}{5}x^{5}[/mm] - [mm]\bruch{2}{3}x^{6}[/mm] + [mm]\bruch{1}{7}x^{7}[/mm]
>
> mit den grenzen und pi eingesetzt ergibt sich:
>
> [mm]\pi[/mm] * (25,6 - [mm]\bruch{128}{3}[/mm] + [mm]\bruch{128}{7}[/mm] = [mm]\pi[/mm] *
> [mm]\bruch{128}{105}[/mm]
>
> aber auch hier haben wir als ergebnis 17,23
> aufgeschrieben..
> hoff jemand findet meine fehler!danke
Gruß informix
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
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